Polynomring Einsetzungshomomorphismus

28.11.2017, 17:00	Y-Teezy	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomring Einsetzungshomomorphismus Meine Frage: Sei R[X] ein Polynomring mit Variable über R Die menge Abb(R,R) der Abbildung R->R soll einen Ring der Punktweisen Operationen bilden. Betrachtet wird der Einsetzungs Homomorphismus: R[X]->Abb(R,R) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n} a_i X^i -> \sum\limits_{i=1}^{n} a_i id^i \end{eqnarray}$ wobei a_i auf die Konstanten Funktionen der werte a_i abbilden soll. Ich soll nun Zeigen, dass der Kern, im falle, dass R endlich ist, Nicht trifial sei. Leider bin ich echt Schlecht in Algebra und Komme hier auf keinen Ansatz. Bzw kann mir auch nicht wirklich vorstellen was gemeint ist. Meine Ideen: Das einzige was ich mir Vorstellen kann ist, dass a=0 offensichtlich auf den Kern abbildet.
29.11.2017, 00:54	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Teezy, ein Homomorphismus ist dasselbe wie eine lineare Abbildung, also muss insbesondere gelten $\begin{eqnarray} \varphi(x+y) = \varphi(x)+\varphi(y) \end{eqnarray}$ für alle x,y. Mit x=y=0 folgt daraus nach Subtraktion von phi(0) auf beiden Seiten $\begin{eqnarray} \varphi(0)=0 \end{eqnarray}$ . Also: Jede lineare Abbildung bildet die 0 auf die 0 ab. (Da ja der Kern genau die Menge aller Elemente ist, die auf 0 abgebildet werden, könnte man auch sagen: Die 0 liegt im Kern jeder linearen Abbildung.) Das ist mit obigem Argument quasi "selbstverständlich". Wenn eine Abbildung nun die Eigenschaft hat, dass sie außer 0 keine weiteren Elemente auf 0 abbildet (bzw. anders formuliert: ihr Kern außer der 0 keine weiteren Elemente enthält), so sagt man, dass sie trivialen Kern hat. "Trivial" bedeutet ja gerade "selbstverständlich", und dass die 0 selbstverständlich drin ist, hatten wir ja oben gesagt. Wenn die Abbildung nun die Eigenschaft hat, dass sie außer 0 noch weitere Elemente auf 0 abbildet (bzw. anders formuliert: ihr Kern außer der 0 noch weitere Elemente enthält), so sagt man, dass sie nichttrivialen Kern hat. "Nichttrivial" bedeutet "interessant", im Sinne von "da gibt es noch etwas, was sich zu untersuchen lohnt". LG sibelius84
29.11.2017, 07:34	Y-Teezy	Auf diesen Beitrag antworten »
Morgen sibelius84 Erstmal danke für die Antwort. Mir ist durchaus klar, was ein homomorphismus ist und was trivial hier bedeutet. Und dass Phi(0) offensichtlich im Kern liegt sagte ich ja auch bereits. Aber dadurch, dass ich zeigen soll, dass aus R endlich folgt, dass Phi einen nicht trivialen Kern hat (Sprich nicht injektiv ist) reicht es mir ja nicht zu wissen, dass nur Phi(0) im kern liegt. Ich wüsste aber nicht, wie ich auf ein weiteres Element des Kerns komme und wie ich die Endlichkeit von R zu verwenden hab. LG Y_Teezy
29.11.2017, 10:26	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, super. Nur weil du gesagt hattest, dass du dir nicht wirklich vorstellen kannst, was gemeint ist. Du kennst ja Aufgaben des Typs "Geben Sie eine Funktion mit den Nullstellen 47 und 11 an", wo eine mögliche Antwort dann ist: f(x)=(x-47)(x-11). Wenn du dieses f jetzt auf der Menge $\begin{eqnarray} \{11,47\} \end{eqnarray}$ als Definitionsbereich betrachten würdest, so wäre es identisch mit der Nullabbildung. Du hast hier einen endlichen Körper vorliegen. Endlich heißt insbesondere, dass du für jedes a aus K den zugehörigen Linearfaktor x-a bilden und alle diese Linearfaktoren miteinander multiplizieren kannst und das, was herauskommt, dann wieder ein Polynom ist. Evtl. hilft dir das schon ein wenig weiter...?
29.11.2017, 10:35	Y-Teezy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja schon, mittlerweile kann ich mir das auch vorstellen (Hab die Summe Falsch verstanden. Dachte das wäre eine Indize Schreibweise wie z.B beim Taylor Polynom ). Aber habe ich dann nicht schon gezeigt, dass der Kern nicht trivial ist? Im Falle von f(x)=(x-2)(x-1)=x^2-3x+2 habe ich ja 2 Elemente im Kern.
29.11.2017, 10:41	Y-Teezy	Auf diesen Beitrag antworten »
Desweiteren sehe ich noch ein Problem darin, dass Phi(0) ja nicht zwingend gleich 0 ist, sondern (wenn wir R jetzt einfach mal als \|R definieren.) Dann wäre Phi(0)=a0*0^0=a0 (hier 0^0:=1)
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29.11.2017, 10:58	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider nein. Was du jetzt gemacht hast, ist: Du hast f als Abbildung von \|R nach \|R betrachtet (man spricht dann übrigens auch nicht vom "Kern", sondern eben von den Nullstellen). edit (nach deiner weiteren Antwort): Genau, f ist auch im Allgemeinen nicht linear, genau wie du sagst: schon allein deshalb, weil i.A. f(0) nicht 0 ist. Wenn du dir deine Abbildung vom Blatt mal anschaust, so ist die ja anders definiert. Hier geht es um feine begriffliche Unterschiede: 1.) p = Polynom aus R[X] = $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n a_iX^i \end{eqnarray}$ . Das ist als Polynom erstmal ein rein formaler Ausdruck. Das "X" markiert die Stelle, wo man theoretisch etwas einsetzen könnte. Das Polynom verlangt aber nicht zwangsläufig danach, dass man das tut. Und wenn man es dann doch tut, dann ist es ihm auch relativ egal, was man da einsetzt, so lange alle auftretenden Ausdrücke wohldefiniert sind. Das, was statt X eingesetzt wird, muss lediglich aus irgendeiner R-Algebra kommen; dann liegt das Ergebnis auch in dieser R-Algebra und die Welt ist in Ordnung. (Klassische Beispiele, was man da außer Zahlen einsetzen könnte, sind: Endomorphismen und Matrizen.) 2.) $\begin{eqnarray} f_p\colon R\longrightarrow R,\quad f_p(x):=p(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i \end{eqnarray}$ Dies ist eine Funktion mit festgelegtem Definitions- und Zielbereich. Man kann nur Zahlen einsetzen. Alles andere geht nicht. Man hat dem Polynom seine Freiheit genommen und ihm Daumenschrauben angelegt. Deshalb ist auch, symbolisch gesprochen, das x klein geworden. Eine Matrix würde da jetzt nicht mehr reinpassen. Deine Abbildung ist nun die folgende: $\begin{eqnarray} \Phi\colon R[X] \longrightarrow \mathrm{Abb}(R,R),\quad p\mapsto f_p \end{eqnarray}$ . Es geht darum, großzügige Polynome zu kleinkarierten Funktionen umzufunktionieren. Die Frage wäre für den Kern (!), ob du bei endlichem R irgendein Polynom p finden kannst, das nicht das Nullpolynom ist, sodass aber trotzdem die Abbildung f_p alle Elemente von R auf Null schickt. Das kannst du mit Linearfaktoren realisieren.
30.11.2017, 16:06	Y_Teezy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat mir Sehr geholfen Vielen Dank. (Auch sehr Schön wie du das X als Individuum beschrieben hast )

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