DGL Fundamentalsystem

28.11.2017, 20:58

easy1

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DGL Fundamentalsystem

Kann mir jemand erklären wie ich weiter vorgehen soll?

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} y= \begin{pmatrix} -2y1+2y2+1 \\ 2y1+y2+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.11.2017, 21:26

Partialius

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Eigenwerte eigenvektoren ausrechnen Wink

Wink

28.11.2017, 21:37

Easy1

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Habe Gauß gemacht :

I-II Gleichung :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 2& 1 \\ 0 & 1& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich bei Gauß weiter vor ?

29.11.2017, 00:38

sibelius84

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Hi,

Bei Gauß würdest du jetzt anfangen den Lösungsraum zu parametrisieren. Aber für Eigenwerte / Eigenvektoren ist Gauß auch der falsche Ansatz. Außerdem gehören in die Matrix nur die Koeffizienten vor x_1 und x_2, nicht die Konstanten. Rechte Spalte muss also weg. Dann charakteristisches Polynom bestimmen, gleich Null setzen, das gibt dir die Eigenwerte, und damit kannst du dann die Eigenvektoren ausrechnen.

LG
sibelius84

29.11.2017, 00:53

Easy1

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 1& \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was soll ich denn jetzt genau machen?
Verstehe ich nicht so ganz ?

-2x1+2x2 = 0

2x1+x1 = 0

Das LGS lösen?

29.11.2017, 00:58

sibelius84

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Eigenwerte berechnen. Googel mal "Matrix Eigenwerte berechnen Beispiel". Vielleicht gibts dazu auch was auf der wikipedia.

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29.11.2017, 01:06

Easy1

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 1& \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 1& \end {pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =<br /> \lambda * \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soll ich es auch einfach x und y nennen ?

29.11.2017, 08:52

klarsoweit

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Wenn du nicht weißt, wie man die Eigenwerte einer Matrix bestimmt (Nullstellen des charakteristischen Polynoms), dann ergibt das hier keinen Sinn. unglücklich

unglücklich

Wenn man solch eine Aufgabe gestellt bekommt, dann ist davon auszugehen, daß sowohl das Verfahren bekannt ist, als auch nötige Vorkenntnisse vorliegen.

29.11.2017, 09:33

Easy1

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (-2-\lambda)*(1-\lambda )-4 = -2+2 \lambda -\lambda + \lambda ^2 =\lambda ^2 + \lambda -2 \end{eqnarray*}$

Eigenwerte :

$\begin{eqnarray*} \lambda =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = -2 \end{eqnarray*}$

Jetzt Matrix aufstellen wieder :

für 1:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 0 & \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt Gauss oder?

29.11.2017, 09:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Easy1
$\begin{eqnarray*} = (-2-\lambda)*(1-\lambda )-4 = -2+2 \lambda -\lambda + \lambda ^2 =\lambda ^2 + \lambda -2 \end{eqnarray*}$

Da ist dir ein Rechenfehler unterlaufen. geschockt

geschockt

29.11.2017, 10:21

Easy1

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (-2-\lambda)*(1-\lambda )-4 = -2+2 \lambda -\lambda + \lambda ^2 =\lambda ^2 + \lambda -6 \end{eqnarray*}$

Jetzt

$\begin{eqnarray*} \lambda =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = -3 \end{eqnarray*}$

für 2:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 &-1& \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt passt es?

29.11.2017, 10:24

Easy1

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (-2-\lambda)*(1-\lambda )-4 = -2+2 \lambda -\lambda + \lambda ^2 =\lambda ^2 + \lambda -6 \end{eqnarray*}$

Jetzt

$\begin{eqnarray*} \lambda =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = -3 \end{eqnarray*}$

für 2:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 &-1& \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt passt es?
Hatte wieder einen Fehler entdeckt Big Laugh

Big Laugh

29.11.2017, 10:26

Easy1

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[quote]Original von Easy1
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (-2-\lambda)*(1-\lambda )-4 = -2+2 \lambda -\lambda + \lambda ^2 =\lambda ^2 + \lambda -6 \end{eqnarray*}$

Jetzt

$\begin{eqnarray*} \lambda =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = -3 \end{eqnarray*}$

für 2:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 &-1& \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach Gauss :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 0 &0& \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

vektor z = (0,0 )^T Richtig?

29.11.2017, 10:32

sibelius84

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Alles richtig, bis auf die letzte Zeile "z=(0,0)^T", die ergibt keinen Sinn. Aber bis hin zur vorletzten sollte alles stimmen.

Wenn ein (homogenes) Gleichungssystem mehr Spalten als Zeilen hat, so entstehen Freiheitsgrade und du musst freie Parameter wählen. Ich würde x_2:=t setzen, die verbliebene erste Zeile deines Gleichungssystems ausschreiben zu -4x_1+2x_2=0, hier x_2=t einsetzen und x_1 auch noch in Abhängigkeit von t schreiben. So bekommst du die zugehörigen Eigenvektoren raus.

Wenn du eine Basis aus Eigenvektoren bilden willst und daher nicht alle, sondern nur einen Eigenvektor brauchst, dann kannst du dir für t etwas aussuchen (außer 0), das macht man dann gerne so, dass alle Brüche verschwinden.

29.11.2017, 10:46

Easy1

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-4x_1+2x_2=0

-4x_1 +2t = 0

Soll ich x1 auch t nennen?

29.11.2017, 10:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von Easy1
Nach Gauss :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 0 &0& \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sinnvollerweise sollte es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 0 &0& \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lauten.

Zitat:

Original von Easy1
-4x_1+2x_2=0

-4x_1 +2t = 0

Soll ich x1 auch t nennen?

Nee, bestenfalls könntest du nun nach x_1 auflösen. Das mit dem Parameter t ist aber unnötiger Schnickschnack. Wähle einfach x_2 = 1 und löse nach x_1 auf. Den entstehenden Vektor kannst du als Basis deines Eigenraums nehmen.

(Man merkt schon, daß wichtige Grundlagen nicht beherrscht werden.)

29.11.2017, 11:07

sibelius84

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Zitat:

Original von Easy1
-4x_1+2x_2=0

-4x_1 +2t = 0

Soll ich x1 auch t nennen?

Das würde ich als eher weniger sinnvoll erachten, denn damit würdest du implizit vorausgesetzt haben, dass x_1=x_2 gilt - was im Allgemeinen nicht der Fall sein dürfte.

Vielmehr würde ich nach x_1 umformen und dann die erhaltenen Ausdrücke für x_1, x_2 in Abhängigkeit von t in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetzen. Such dir für t eine passende Zahl aus (außer 0), um einen schönen Eigenvektor zu erhalten.

klarsoweit hat natürlich auch Recht: Man kann das mit dem t auch weglassen. Rein mathematisch ist es tatsächlich unnötiger Schnickschnack. Dennoch kann es didaktisch / erkenntnistheoretisch aber durchaus hilfreich sein. Man kann sich im Kopf denken: "x_1 ist degradiert und x_2 ist King", oder so. Das muss man sich aber merken, und x_1 und x_2 sehen sich ja doch noch relativ ähnlich... wenn man x_2:=t setzt, so ist die Degradierung 'amtlich', 'schwarz auf weiß', man muss sich das nicht mehr vergegenwärtigen und kann da nicht mehr durcheinanderkommen. Meiner Vermutung nach ist das der Grund, warum das in den meisten Veranstaltungen zur Ingenieurmathematik (die wir hier wohl vor uns haben dürften - zumindest in denjenigen Veranstaltungen, die ich kenne) so gelehrt wird.

29.11.2017, 11:39

Easy1

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-4x_1 +2t = 0

4x_1 = -2t
x1 = -1/2 *t

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -0,5t \\ 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In Ordnung?

Wie geht es weiter?

29.11.2017, 11:54

klarsoweit

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Indem du erst mal kräftig die Theorie lernst, wie man ein homogenes GLS löst. (Deine Wissenslücken - auch beim Lösen von Gleichungen - scheinen dich ja irgendwie gar nicht zu kümmern.) geschockt

geschockt

Zitat:

Original von Easy1
-4x_1 +2t = 0

4x_1 = -2t

Wenn schon, dann 4x_1 = 2t . Das ergibt dann $\begin{eqnarray*} \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 0,5t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Um zu einem Basisvektor zu kommen, mußt du nun für t einen beliebigen Wert (außer 0) einsetzen.
Danach kannst du dich um den Eigenraum zu dem 2. Eigenwert kümmern.

29.11.2017, 12:03

Easy1

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Soll ich für beide t = 1 wählen ?

29.11.2017, 12:30

klarsoweit

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Wie du magst. Mit t=2 bekommst du auch einen schönen Eigenvektor. smile

smile

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