Tower of power

29.11.2017, 09:40	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Tower of power Sei x>0 und es gilt x^x^x^x^x ... =2 ist dann korrekt zu sagen $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2=2 \Rightarrow x=\sqrt 2 \end{eqnarray}$ ?
29.11.2017, 10:05	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tower of power Ja. Das hat ein gewisser Herr Knoebel 1981 bewiesen: $\begin{eqnarray} H(x) = x^{x^{x^{\dots}}} \Rightarrow H^{-1}(x)=x^{ \frac 1x} \end{eqnarray}$ Viele Grüße Steffen
29.11.2017, 10:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was aber noch nicht die Frage klärt, für welche positiv reellen $\begin{align} t \end{align}$ der Potenzturm $\begin{align} x^{x^{x^{\ldots}}} \end{align}$ mit $\begin{align} x:=t^{1/t} \end{align}$ tatsächlich gegen $\begin{align} t \end{align}$ konvergiert: Für $\begin{align} t>e \end{align}$ ist das nicht mehr der Fall. EDIT: Und für $\begin{align} 0<t<\frac{1}{e} \end{align}$ auch nicht.
29.11.2017, 10:32	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dass die Konvergenz von H(x) auf das Intervall $\begin{eqnarray} e^{-e}\le x \le e^{ \frac 1e} \end{eqnarray}$ beschränkt ist, hat wiederum bereits Euler 1783 bewiesen. Da später ein Herr Eisenstein sich damit beschäftigt hat, nennt man es auch Euler-Eisenstein-Intervall. Die $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ liegt aber drin, daher hab ich das nicht extra erwähnt...
29.11.2017, 15:44	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
gut dass das jetzt geklärt ist!

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