Likelihood und Log-Likelihood

29.11.2017, 11:47	Kathii.xi	Auf diesen Beitrag antworten »
Likelihood und Log-Likelihood Meine Frage: Hallo! Ich habe bei einer Klausur eine Bonusfrage bezüglich dem Likelihoods bekommen. Leider wurde das in dem Fach kaum durchgerechnet, sondern nur die Theorie dazu besprochen. Meine Frage ist daher wie ich die Aufgabe löse. Mir fehlen dazu die Anhaltspunkte und die Vorgehensweise! Leider besteht die Aufgabe darin dies durch ein "Selbststudium" heraus zu finden. Danke im Voraus. Meine Ideen: Meine Idee wäre, jeden Parametervektor durch die angegebene Formel auszurechnen. Jedoch frage ich mich, was ich mit der Tabelle bezüglich den Datensatzes machen sollte bzw. was mir dieser sagt.
29.11.2017, 16:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Likelihoodfunktion ist schlicht das Produkt der (stetigen oder diskreten; im vorliegenden Fall "diskreten") Dichtewerte genommen über alle Stichprobenwerte. Es ist also $\begin{align} L(x;\theta,\beta) = \prod_{v=1}^5 \prod_{i=1}^5 P(X_{vi}=x_{vi} \mid \theta_v,\beta_i) = \prod_{v=1}^5 \prod_{i=1}^5 \frac{e^{x_{vi}\cdot (\theta_v-\beta_i)}}{1+e^{\theta_v-\beta_i}} \end{align}$ die Likelihoodfunktion hier, dabei ist $\begin{align} x_{vi}\in\{0,1\} \end{align}$ das Matrixelement in Zeile $\begin{align} \theta_v \end{align}$ und Spalte $\begin{align} \beta_i \end{align}$ . Und nun: Ausrechnen! Die Loglikelihoodfunktion ist dann einfach der natürliche Logarithmus dieses Wertes, also $\begin{align} \ln L(x;\theta,\beta) \end{align}$ . Den kann man, wenn man will, auch noch vereinfachen gemäß Logarithmenregeln $\begin{align} \ln L(x;\theta,\beta) = \sum_{v=1}^5 \sum_{i=1}^5 \left( x_{vi}\cdot (\theta_v-\beta_i) -\ln\left(1+e^{\theta_v-\beta_i}\right)\right) \end{align}$ aber muss nicht sein. Ist auch manchmal fraglich, ob das wirklich eine Vereinfachung ist... Meistens ist es das, wenn man die Terme nach den Parametern ableiten will, denn Summen lassen sich leichter ableiten als Produkte. P.S.: Ein Tipp für deine nächste Anfrage mit Scan: Dreh das Bild doch gleich so, dass man es ohne die Gefahr einer Genickstarre lesen kann. Viele Helfer im Board sind alt und gebrechlich wie ich, die mögen solche Verrenkungen nicht.

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