Die Länge einer Kurve bzgl. einer Metrik

29.11.2017, 13:45	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Länge einer Kurve bzgl. einer Metrik Meine Frage: Guten Tag an alle Helfer ! Ich hätte eine Aufgabe und habe diese versucht alleine zu lösen allerdings bin ich mir nicht sicher ob das was ich gemacht habe auch richtig ist. Die Aufgabe habe ich als Bild hochgeladen. Meine Ideen: Als erstes habe ich die Ableitung von gamma berechnet also : $\begin{eqnarray} \gamma(t) := \begin{pmatrix} t+2 \\ t+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ daraus Folgt : $\begin{eqnarray} \gamma'(t) := \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun habe ich die länge des Vektors bzgl. der Metrik G berechnet : $\begin{eqnarray} \|\| \gamma'(t)\|\|_G = \sqrt{1+r^2} \end{eqnarray}$ . Nun berechne ich : $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2} \! \sqrt{1+r^2} \, dt \end{eqnarray}$ Durch verwendung der Linearität ergit sich $\begin{eqnarray} 2\sqrt{1+r^2} \end{eqnarray*}$ ich habe wohl bei der INtegralrechnung was falsch gemacht weil eigentlich sollte ja eine Reele Zahl raus kommen :/
01.12.2017, 18:27	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Länge einer Kurve bzgl. einer Metrik Hallo und kann mir wirklich keiner helfen ?
01.12.2017, 18:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Länge einer Kurve bzgl. einer Metrik Ich weiß nicht ob ich es richtig verstehe. Aber ich denke du musst den Vektor $\begin{eqnarray} (1,1) \end{eqnarray}$ umschreiben in Koordinaten $\begin{eqnarray} (r, \phi) \end{eqnarray}$ . Und dann ist $\begin{eqnarray} \\| (r, \phi) \\|_G = r\sqrt { 1 + \varphi^2 } \end{eqnarray}$ . Ist eine 50/50 Chance, dass ich mich irre.
01.12.2017, 19:53	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Länge einer Kurve bzgl. einer Metrik Guten Abend IfindU und Danke für die Antwort Was haltest du von dieser interpretierung : In der Aufgabe steht ja " Berechnen Sie in den Koordinaten (r, Æ) mit r >0 " Das würde doch eigentlich heißen : Wir haben ja $\begin{eqnarray} \sqrt{1+r^2} \end{eqnarray}$ und es soll ja nach t Integriert werden. Da (r, Æ) gilt kann ich doch einfach für r = t+2 einsetzen und kann doch $\begin{eqnarray} \sqrt{1+(t+2)^2} \end{eqnarray}$ integrieren .. oder ist das Absoluter Unfug die Idee
01.12.2017, 19:55	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Länge einer Kurve bzgl. einer Metrik Also sozusagen r(t)= t+2 , phi(t)= t+1 aber keine AHnung
01.12.2017, 20:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Länge einer Kurve bzgl. einer Metrik Wenn r=t+2, bin ich mir nicht sicher was die Ableitung von gamma ist. Denn dann ist gamma eine Spirale. Aber ich werde aus der Aufgabe nicht wirklich schlau.
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01.12.2017, 20:52	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Länge einer Kurve bzgl. einer Metrik Was haltest du von dieser Idee : Wenn wir die Parameterdarstellung in eine Kartesiche umformen haben wir : y=x-1 bzw. f(x)=x-1 daraus würde folgen das f'(x)= 1 ist. und die Länge von einer Funktion in Kartesicher Form ist ja einfach : $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! \sqrt{1+f'(x)^2} \, dx \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! \sqrt{2} \, dx \end{eqnarray}$ ergibt : $\begin{eqnarray} (b-a)\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .. auch wenn das richtig ist ich glaube das war jetzt nicht der Sinn der Aufgabe diese so zu lösen haha -.-
01.12.2017, 23:17	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die Länge einer Kurve bzgl. einer Metrik Ist eigentlich die länge einer Funktion in anderen darstellungen wie (polar,kartesich, param.) gleich?

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