Probleme mit der Funktionsbildung

29.11.2017, 16:35	FaktorNull	Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme mit der Funktionsbildung Hallo, ich habe Probleme aus folgender Funktionsvorschrift die korrekten 5 Funktionen zu bilden. $\begin{eqnarray} \beta^n(x)=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^k(x-k+\frac{n+1}{2})^n_+ \end{eqnarray}$ Für n=5 ist die erste Funktion $\begin{eqnarray} \frac{1}{120}x^5+\frac{1}{8}x^4+\frac{3}{4}x^3+\frac{9}{4}x^2+\frac{27}{8}x+\frac{81}{40} \end{eqnarray}$ Das ist soweit auch kein Problem. Nur soll für die zweite Funktion folgendes die Lösung sein $\begin{eqnarray} -\frac{1}{24}x^5-\frac{3}{8}x^4-\frac{5}{4}x^3-\frac{7}{4}x^2-\frac{5}{8}x+\frac{17}{40} \end{eqnarray}$ Ich komme egal wie ich rechne nie auf diese Lösung. Könnte mir vielleicht jemand mal den Weg für k=1 aufzeigen. Ich wäre wirklich dankbar zu verstehen wie man auf diese Lösung kommt. Bei mir ist schon beim allerersten x der Fehler das ich auf $\begin{eqnarray} -\frac{1}{20}x^5 \end{eqnarray}$ komme. Vielleicht kann mir ja jemand helfen
29.11.2017, 16:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab zunächst mal ein paar grundsätzliche Fragen: 1) Das an die letzte Klammer angehängte tiefe + ist kein Schreibfehler? Üblicherweise versteht man darunter $\begin{align} a_+ = \max(a,0) \end{align}$ . 2) Damit im Zusammenhang steht, dass man ausmultipliziert und zusammengefasst für $\begin{align} x \end{align}$ aus verschiedenen Intervallen dann auch verschiedene Polynomfunktionen bekommt. Sind es diese Polynomfunktionen, die du hier ohne einführende Erläuterung mit "erste", "zweite" usw. Funktion meinst?
29.11.2017, 17:33	FaktorNull	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine schnelle Rückmeldung. 1. Das + steht in der Formel tatsächlich so. Ich selber habe dazu nichts gefunden. 2. Ganz genauso ist es wie du es schreibst. Es sind nachher die zusammengefassten Polynomfunktionen die für die einzelnen Intervalle gelten. Ich hoffe das hilft dir weiter.
29.11.2017, 22:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dann ist doch eigentlich alles klar: Du meinst dann die $\begin{align} n+2 \end{align}$ Polynomfunktionen $\begin{align} \beta^n_m(x) := \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^m \binom{n+1}{k} (-1)^k\left(x-k+\frac{n+1}{2}\right)^n \end{align}$ für $\begin{align} m=0,1,\ldots,n+1 \end{align}$ . und die kannst du sukzessive berechnen mit Start $\begin{align} \beta^n_{-1}(x) := 0 \end{align}$ sowie $\begin{align} \beta^n_m(x) = \beta^n_{m-1}(x) + \frac{1}{n!} \binom{n+1}{m} (-1)^m\left(x-m+\frac{n+1}{2}\right)^n \end{align}$ für $\begin{align} m=0,1,\ldots,n+1 \end{align}$ . Dann mach das doch einfach, ist reine Rechen-Fleißarbeit mit dem Binomischen Satz. Wenn du konkrete Fehler in der Rechnung hast und willst, dass wir sie finden, dann musst du auch diese konkrete Rechnung dann hier präsentieren - wir sind keine Hellseher.
29.11.2017, 23:55	FaktorNull	Auf diesen Beitrag antworten »
Das es sich um den Binomischen Satz handelt ist mir klar. Um es abzukürzen will ich dir nur mal mein Problem bei $\begin{eqnarray} x^5 \end{eqnarray}$ zeigen. Also Binom hoch 5 wäre dann 1 5 10 10 5 1 aufgelöst, sprich wir hätten an erster Position ja stehen x^5. Also steht da in meiner Rechnung (aufgelöst). $\begin{eqnarray} \frac{1}{120}6(-1)(x^5+......) \end{eqnarray}$ Das ergibt dann bei mir wie oben schon erwähnt. $\begin{eqnarray} -\frac{1}{20}x^5+...... \end{eqnarray}$ Du siehst schon jetzt ist diese Rechnung falsch. Denn es müsste ja heißen $\begin{eqnarray} -\frac{1}{24}x^5+...... \end{eqnarray*}$ Und genau da scheine ich schon einen Fehler zu machen der sich dann komplett durch die Rechnung zieht für alle weiteren Berechnungen.
30.11.2017, 08:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist aber nur der $\begin{align} x^5 \end{align}$ -Anteil des zweiten Summanden (d.h. dem für k=1). Den musst du doch aber noch zu dem x^5-Anteil des ersten Summanden (den für k=0) addieren!!! Insgesamt also $\begin{align} \frac{1}{120}x^5 - \frac{1}{20}x^5 = \frac{1-6}{120}x^5 = -\frac{1}{24}x^5 \end{align}$ . Nochmal, denn du scheinst das oben nicht gelesen zu haben: Es ist $\begin{align} \beta^n_m(x) = {\color{red}\beta^n_{m-1}(x) +}~ \frac{1}{n!} \binom{n+1}{m} (-1)^m\left(x-m+\frac{n+1}{2}\right)^n \end{align}$ für $\begin{align} m=0,1,\ldots,n+1 \end{align}$ . statt einfach nur wie du zu rechnen scheinst $\begin{align} \beta^n_m(x) \stackrel{???}{=} \frac{1}{n!} \binom{n+1}{m} (-1)^m\left(x-m+\frac{n+1}{2}\right)^n \end{align}$ . D.h., die Binompotenzen werden nicht einfach nur neu berechnet, sondern zum bisherigen Ergebnis draufsummiert! Formeln richtig lesen!
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30.11.2017, 08:51	FaktorNull	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Erklärung HAL9000. Jetzt habe ich es verstanden und konnte alle Polynome sowie in der der Lösung angegeben ausrechnen. Ich habe wirklich das + nicht korrekt verstanden. Somit habe ich einfach immer genau wie du es beschreibst jedes Polynom für sich genommen ausgerechnet ohne dies Nachher auf das vorherige Polynom aufzuaddieren. Ich dachte das + steht einfach dafür das es sich um eine zusammengesetzte Polynomfunktion handelt.. Nochmals vielen Dank, das war wirklich klasse von dir.
30.11.2017, 10:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass überhaupt auf diese Weise aufsummiert wird, hängt essentiell mit dem $\begin{align} a_+=\max(a,0) \end{align}$ zusammen: Man muss sich nämlich anschauen, welche Indizes $\begin{align} k \end{align}$ für konkretes $\begin{align} x \end{align}$ tatsächlich einen von Null verschiedenen Summanden liefern: a) Für $\begin{align} x\leq -\frac{n+1}{2} \end{align}$ kein einziger Index $\begin{align} k \end{align}$ , d.h., es ist $\begin{align} \left(x-k+\frac{n+1}{2}\right)_+=0 \end{align}$ für alle $\begin{align} k=0,1,\ldots,n \end{align}$ b) Für $\begin{align} x> \frac{n+1}{2} \end{align}$ alle, d.h., es ist $\begin{align} \left(x-k+\frac{n+1}{2}\right)_+=x-k+\frac{n+1}{2} \end{align}$ für alle $\begin{align} k=0,1,\ldots,n \end{align}$ . c) Wie sieht es dazwischen aus: Für festes $\begin{align} m \end{align}$ mit $\begin{align} 0\leq m\leq n \end{align}$ läuft die Summation von $\begin{align} 0 \end{align}$ bis $\begin{align} m \end{align}$ genau dann, wenn $\begin{align} x-m+\frac{n+1}{2}>0 \end{align}$ aber zugleich $\begin{align} x-(m+1)+\frac{n+1}{2}\leq 0 \end{align}$ . Das ist zusammengeführt genau dann der Fall, wenn $\begin{align} \frac{2m-n-1}{2} < x \leq \frac{2m-n+1}{2} \end{align}$ ist. D.h., für $\begin{align} x \end{align}$ aus diesem Intervall gilt dann $\begin{align} \beta^n(x) = \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^m \binom{n+1}{k} (-1)^k \left(x-k+\frac{n+1}{2}\right)^n \end{align}$ . Insofern sind diese schrittweise aufsummierten Polynome die Funktionen, die du suchst: Das fällt also nicht vom Himmel, sondern man kriegt es durch sorgfältige Überlegungen (wie die jetzt eben) heraus!

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