Beweis, dass K Teilkörper von C

29.11.2017, 16:58

GrafSeeger

Beweis, dass K Teilkörper von C

Meine Frage:
Hallo Forum,

Ich wollte euch fragen, ob ihr mir helfen könnt diese Aufgabe zu lösen :

$\begin{eqnarray*} K = \{a+bw | a \in Q\} \subseteq C \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass K ein Teilkörper von C ist.

Grüße Tom smile

Meine Ideen:
Ich muss wahrscheinlich zeigen dass:
- 0-und 1-Element(von Q) muss in K sein
-K muss unter Addition und Multiplikation abgeschlossen sein
- $\begin{eqnarray*} \forall k\in K/\{0\} \exists k^{-1}\cdot k= 1 \end{eqnarray*}$
-Distributivität ?

29.11.2017, 19:01

Leopold

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RE: Beweis, dass K Teilkörper von C

Zitat:

Original von GrafSeeger
$\begin{eqnarray*} K = \{a+b \color{red} w \color{black} | a \in Q\} \subseteq C \end{eqnarray*}$

Und was ist $\begin{align*} \color{red} w \end{align*}$ ? (Ich vermute, die Wurzel aus einem Nichtquadrat oder so ähnlich.) Oder ist das vielleicht sogar $\begin{align*} \color{red} \omega \end{align*}$ (griechisch klein-omega)?

29.11.2017, 19:08

GrafSeeger

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ja, ich denke w ist Wurzel eines Nichtquadrats smile

29.11.2017, 19:18

Leopold

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Da $\begin{align*} K \end{align*}$ eine Teilmenge von $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ ist, sind Kommutativgesetze, Assoziativgesetze und das Distributivgesetz von alleine erfüllt. Sie brauchen nicht noch einmal nachgewiesen zu werden. Entscheidend ist die Abgeschlossenheit. Sind mit $\begin{align*} u,v \in K \end{align*}$ auch $\begin{align*} u+v, \, u-v, \, u \cdot v, \, \frac{u}{v} \in K \end{align*}$ . Wenn das für Summe und Produkt nachgewiesen ist, genügt natürlich für die Differenz und den Quotienten der Nachweis, daß für $\begin{align*} u \in K \end{align*}$ auch $\begin{align*} -u \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{1}{u} \in K \end{align*}$ sind. Für Letzteres beachte die dritte binomische Formel und erweitere entsprechend.

29.11.2017, 19:19

GrafSeeger

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AH ! jetzt hab ichs ^^ vielen Dank (:

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