Folge mit 3 Häufungspunkten

29.11.2017, 18:06

LIMESWARRIOR3000

Folge mit 3 Häufungspunkten

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,
ich habe folgende Aufgabe:

Geben Sie eine Folge reeller Zahlen an, die genau drei Häufungspunkte hat (Beweisen Sie Ihre Behauptung).

Meine Ideen:
Meine Idee:

Ich definiere mir eine Folge, die aus n-Ableitungen von sinx besteht, mit X=0.

=> a_n= d^n/dx[sin(X)]

Ich hätte dann die Häufungspunkte -1,0,1

Meine Frage ist, ob das überhaupt möglich ist und wie ich das Beweisen kann.
Meine untere Schranke wäre dann a_0=1

29.11.2017, 18:55

Leopold

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RE: Folge mit 3 Häufungspunkten

Zitat:

Original von LIMESWARRIOR3000
Ich definiere mir eine Folge, die aus n-Ableitungen von sinx besteht, mit X=0.

=> a_n= d^n/dx[sin(X)]

Ich hätte dann die Häufungspunkte -1,0,1

Du müßtest das anders schreiben, zum Beispiel so:

$\begin{align*} a_n = \left. \frac{\dd^n \sin(x)}{\dd x^n} \, \right|_{\, x=0} \end{align*}$

Deine Idee ist doch genau richtig:

$\begin{align*} 0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1, \ldots \end{align*}$

Mir würde das als Beschreibung der Folge genügen. Ich weiß aber nicht, ob deine "Vorgesetzten" formelmäßige Beschreibungen fordern. Dann könntest du spezielle Werte der Sinusfunktion nehmen, nämlich die Werte an den ganzzahligen Vielfachen von $\begin{align*} \frac{\pi}{2} \end{align*}$ . Du könntest aber auch eine Definition durch Fallunterscheidung geben. Oder so etwas ( $\begin{align*} \operatorname{i} \end{align*}$ =imaginäre Einheit):

$\begin{align*} a_n = \frac{1}{2} \left( (-1)^n - 1 \right) \operatorname{i}^{n+1} \, , \ \ n \geq 0 \end{align*}$

29.11.2017, 20:01

LIMESWARRIOR3000

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RE: Folge mit 3 Häufungspunkten
Danke für die schnelle Antwort!

Ich hätte dazu zwei Fragen.
Was unterscheidet meine Schreibweise zu deiner?

Du müßtest das anders schreiben, zum Beispiel so:

$\begin{align*} a_n = \left. \frac{\dd^n \sin(x)}{\dd x^n} \, \right|_{\, x=0} \end{align*}$

Und ich habe keine Ahnung, wie ich beweisen kann, dass die Folge tatsächlich 3 Häufungspunkte hat.
Nach den ersten 5 Folgegliedern sieht man das ja schon. Allerdings ist das ja noch lange kein Beweis. Mir fällt aktuell auch kein Satz oder eine Definition ein, mit der ich argumentieren könnte. verwirrt

29.11.2017, 21:54

Leopold

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RE: Folge mit 3 Häufungspunkten
Numerieren wir die Folgenglieder mit $\begin{align*} 0,1,2,... \end{align*}$ durch. Dann ist es doch so, daß bei den Indizes $\begin{align*} 0,2,4,\ldots \end{align*}$ , also unendlich vielen, die Folgeglieder der $\begin{align*} 0 \end{align*}$ beliebig nahe kommen, ja sogar gleich $\begin{align*} 0 \end{align*}$ sind. Bei den Indizes $\begin{align*} 1,5,9,\ldots \end{align*}$ ist das mit $\begin{align*} 1 \end{align*}$ so, bei den Indizes $\begin{align*} 3,7,11,\ldots \end{align*}$ mit $\begin{align*} -1 \end{align*}$ . Es gibt also Teilfolgen, die gegen $\begin{align*} 0 \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} 1 \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} -1 \end{align*}$ konvergieren. Was will man mehr!

Zitat:

Original von LIMESWARRIOR3000
Was unterscheidet meine Schreibweise zu deiner?

Du sagst vorher, daß $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ sein soll, und verwendest $\begin{align*} x \end{align*}$ gleichzeitig als Variable für den Differentiationsprozeß. Das geht nicht. In meiner Schreibweise wird $\begin{align*} x \end{align*}$ zunächst als Variable für die $\begin{align*} n \end{align*}$ -te Ableitung verwendet (vor dem senkrechten Strich), danach wird $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ eingesetzt (nach dem senkrechten Strich). Ich denke, genau das willst du auch so verstanden haben wissen. Und die von mir vorgeschlagene Schreibweise bringt das zum Ausdruck.

30.11.2017, 12:10

LIMESWARRIOR3000

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RE: Folge mit 3 Häufungspunkten
Okay. Habe ich verstanden. Danke dir für deine Hilfe! Jetzt weiß ich, wie ich das in eine gute Form bringen kann. 1000 Dank!
Freude

30.11.2017, 12:23

HAL 9000

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Für beliebiges ganzzahliges $\begin{align*} k\geq 2 \end{align*}$ ist übrigens $\begin{align*} a_n = \cos\left(\frac{n}{k-1}\pi\right) \end{align*}$ eine Folge mit genau $\begin{align*} k \end{align*}$ Häufungspunkten, welche dann gerade $\begin{align*} 1=a_0>a_1>\ldots>a_{k-1}=-1 \end{align*}$ sind.

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