Stückweise glatt untersuchen |
| 29.11.2017, 18:47 | allahahbarpingok | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Stückweise glatt untersuchen In der Vorlesung wurde geklärt, dass eine Fouriereihe punktweise gegen die Funktion f konvergiert, wenn sie stückweise glatt ist, d.h.: - f stetig und diffbar bis aus endlich viele Punkte - in den Ausnahmestellen müssen die einseitigen Grenzwerte von f und f' existieren Hier nun die Aufgabe: [attach]45853[/attach] Die Funktion g ist überall stetig diffbar bis auf x=0. Dort existieren jedoch die einseitigen Grenzwerte von f. Mit f' bin ich mir nicht sicher. Stimmen die Grenzwerte so? Dann wäre also die Funktion nicht stückweise glatt. Was heisst das dann für die Konvergenz der zugehörigen Fourierreihe? Denn ich kann ja auf der nicht stückweisen Glattheit nicht auf die nicht Konvergenz der Fourierreihe schließen. |
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| 29.11.2017, 20:44 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo allahahbarpingok, ich habe mal hier https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierrei...ur_Fourierreihe nachgesehen und auf deine Aufgabe trifft nicht die erste, aber die zweite Aussage zu (denn die von dir gegebene Funktion hat sicher beschränkte Variation, sie variiert nämlich nur einmal von 1 zu -1, also ist ihre Totalvariation 2). Nun hattet ihr die wahrscheinlich nicht in der Vorlesung. Aber immerhin wissen wir daher schon mal, dass in deinem Beispiel die Fourierreihe konvergiert. Da dein Ergebnis "Minus Unendlich" - obwohl korrekt berechnet - so wenig Sinn ergibt (hängt ja von f(0) ab und das könnte man beliebig festsetzen, ist der Fourierreihe und ihren durch Integrale berechneten Koeffizienten egal): Dass die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von f' existieren, könnte hier auch ausnahmsweise anders gemeint sein. Da die Funktion stückweise (stetig) differenzierbar ist, kann man ihre Ableitung f' berechnen, an jeder Stelle außer 0. Das sollte konstant 0 ergeben, wenn ich mir deine Skizze bzw. die Definition der Funktion anschaue. Von diesem berechneten f' betrachtet man nun links- und rechtsseitigen Grenzwert. LG sibelius84 |
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