Kurvenintegral 2. Art

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lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral 2. Art
Meine Frage:
Hallo,

Ich schaue mir gerade einen Beweis zum Potentialkriterium an, dh
Gegeben ein stetig differenzierbares Vektorfeld W mit rotW = 0, dann kann man W darstellen als W = grad(g), wobei g eine skalare Funktion (das Potential) ist.

Hier ein Ausschnitt, zu dem ich eine Frage habe:
[attach]45861[/attach]

und hier der Link dazu: https://math.stackexchange.com/questions/638099/why-curl-free-field-implies-existence-of-potential-function

Meine Ideen:
Das erste Integral von 0 nach x ist ein Integral über eine Kurve. Ich dachte stets, sobald man die Grenzen anschreibt, muss man auch die Funktion mit der Kurve verknüpfen, also genau so wie es die Definition des 2. Kurvenintegrals ist.
Hier bleibt die Funktion im Integral allerdings erhalten und die Grenzen werden trotzdem geändert.
Außerdem verstehe ich nicht, was das x' weiter unten zu bedeuten hat und wie er da drauf kommt.

Hilfe!
lissy smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Man hat es mit der Kurve verknüpft. Man hat sogar bereits mit dem Integranden multipliziert. Das ist auch nur eine Integrationsvariable, wie du sie vermutlich genannt hättest.

Wenn du alles mal sauber aufschreibst, wirst du sicher sehen, was alles passiert ist um die ähnliche, wenn nicht gleiche, Form zu bekommen.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das bereits probiert und bekomme folgendes:
, wobei gilt ...


Stimmt das so?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das hier ist falsch:


Es muss

heissen. Beachte, dass die 1 als Index verschwunden ist, weil es hier noch die ganze vektorielle Funktion steht, die mit dem Vektor skalarmultipliziert wird.
Nun ist (statt ) und damit ist .
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

oh, völlig richtig. na super, danke!smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Als Tipp: Es ist selten von Vorteil auf Biegen und Brechen von Term A auf Term B kommen zu wollen. Man lässt sich gerne zu falschen Dingen verleiten. (Wie hier die auftauchende 1 im Index.)

Der Weg hier war klar: Wir haben Term A, wir können die Definition vom Kurvenintegral einsetzen, und sollten damit auf Term B kommen, oder ihm wenigstens näher gekommen sein. D.h. man guckt ehrlich (!) was man bekommt, nachdem man die Definition eingesetzt hat und vereinfacht hat.

Wenn man es richtig gemacht hat, kann man danach wieder auf Term B gucken und schauen welche Unterschiede noch zu bestehen scheinen. Vielleicht ist es eine weitere Umformung, die noch nötig ist ... oder man hat sich bereits verrechnet. Man kann beidem nachgehen und kommt, früher oder später, auf das Ergebnis was man will.

Wenn man aber ungenau rechnet, damit man möglichst schnell zu etwas kommt, was wenigstens so aussieht wie Term B, so hat man bereits verloren.
 
 
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