Parameterintegrale

30.11.2017, 14:31	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterintegrale Meine Frage: Hallo, Ich soll diese Integrale lösen,wobei ich die Leibnizregel benutzen soll.Die Grenzen sind aber parameterunabhängig. Meine Ideen: Bei dem ersten Integral habe ich alles angewandt und mal den integralrechner angeschmissen,aber da kommt ja ein riesengroßes integral raus.Es muss ja irgendwie einen Trick da geben. Das habe ich zum zweiten Integral $\begin{eqnarray} g(x)=\int_{0}^{\pi} \! \sin(tx)/t \, dt \\ g^\prime(x)=\int_{0}^{\pi} \! \cos(tx) \, dt = \\ \left[\sin(\frac{tx} x) \right]_{0}^{\pi} = \frac{\sin(\pi x) }{x} \end{eqnarray}$ Jetzt müsste ich den letzten Term nach x integrieren,aber dann drehe ich mich ja im Kreis.Für was der ganze Aufwand,wenn das Integral nicht leichter zu lösen als das erste ist. Edit (mY+): LaTeX berichtigt.
30.11.2017, 16:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube nicht, daß es für den Integralwert in (2) einen geschlossenen Ausdruck in elementaren Konstanten und Funktionen gibt. Auch Wolfram schreibt weiter unten auf der Seite bei "Definite integrals" nur $\begin{align} \operatorname{Si}(\pi) \approx 1{,}85194 \end{align}$ als Wert.
30.11.2017, 16:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat sogar einen schönen Namen: Wilbraham–Gibbs constant.
30.11.2017, 17:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar. Dann erfinden wir für WGC noch schnell ein schönes Zeichen: $\begin{align} \heartsuit \end{align}$ - und die Aufgabe ist gelöst: $\begin{align} \int_0^{\pi} \frac{\sin t}{t} ~ \dd t = \heartsuit \end{align}$
01.12.2017, 13:04	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Haha.Ich glaube zwar nicht,dass dies die gedachte Lösung ist,aber ok.Und vielleicht ein genialer Tipp zum ersten Integral?
01.12.2017, 14:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde $\begin{align} t = xu, \ \dd t = x ~ \dd u \end{align}$ substituieren und dann geeignet ausklammern und kürzen. Von $\begin{align} u \end{align}$ unabhängige Faktoren kannst du vors Integral ziehen. Bei der Substitution wandert der Parameter $\begin{align} x \end{align}$ in die Integrationsgrenzen. Aber das ist nicht so schlimm, der Integrand selbst ist dann parameterfrei. Und schließlich kannst du $\begin{align} \frac{1}{1+u^2} - \frac{u^2}{(1+u^2)^2} \end{align}$ verwenden. Die Integration des zweiten Summanden kann partiell erfolgen: $\begin{align} \frac{u^2}{(1+u^2)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2u}{(1+u^2)^2} \cdot u \end{align}$ Für den Bruch rechts kann man unmittelbar eine Stammfunktion sehen.
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03.12.2017, 17:28	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke hab’s hinbekommen.
03.12.2017, 17:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier bedankt sich jemand. Daß es so etwas noch gibt ...

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