Polynomring K[X,Y] Nicht assoziiert aber Gleiches Hauptideal

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Polynomring K[X,Y] Nicht assoziiert aber Gleiches Hauptideal
Guten Abend smile

Ich stehe grade vor Folgender Aufgabe:

Sei K ein Körper und K[X,Y] der Polynomring zweier Variablen. Zeigen sie, dass in dem Ring R:=K[X,Y]/(XY²) die Elemente und nicht Assoziiert zueinander sind, aber dennoch das gleiche Hauptideal Besitzen.

Komme hier aber leider auf Keinen Ansatz traurig
n+1 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mir jetz sagen lassen, dass ich alle zu Bestimmen hab Komme hier auch nur auf müsste aber auf kommen... und was mir das weiterhilft weiß ich jetzt auch nicht Hammer
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo n+1,

zwei Elemente a, b eines Ringes R heißen ja bekanntlich assoziiert zueinander, wenn die Gleichung ea=b mit einem invertierbaren Element e besteht. (Mit 'invertierbar' meine ich hier immer 'multiplikativ invertierbar'.)

Beispiele:

7 und -7 sind in den ganzen Zahlen assoziiert zueinander, weil (-1)·7 =-7.
(...und weil -1 ein invertierbares Element der ganzen Zahlen ist, wegen (-1)·(-1) = 1, ist hier also zu sich selbst invers).

ist im Polynomring assoziiert zu , weil


(...und weil 6 ein invertierbares Element im Polynomring |R[X] ist, wegen 6·(1/6) = 1).

Das heißt für deine Aufgabe:
Du musst den Ansatz aufstellen und schauen, ob du e als invertierbares Element deines Ringes wählen kannst. Da die Aufgabe ja verlangt zu zeigen, dass das nicht geht, solltest du versuchen, daraus einen Widerspruch zu folgern.

Dann zu den Hauptidealen:
Du meinst wahrscheinlich, dass zu zeigen ist, dass und das selbe Hauptideal erzeugen. Also sprich: dass die erzeugten Hauptideale gleich sind.
Hauptideale sind ja insbesondere Mengen. Weißt du, mit welchen zwei Schritten man die Gleichheit zweier Mengen zeigt? Wenn ja: Bei welcher Richtung hast du Probleme? (Denn eine von den zwei Richtungen ist trivial.)

LG
sibelius84
n+1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Assoziierten teil hab ich immer noch keinen Plan, ich verstehe zwar, was gemeint ist aber ich hab keine Ahnung wie ich das Zeigen soll...

Zur Mengen Gleichheit: Wäre das nicht hier der fall, wenn das Ideal = 0 wäre?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre es der Fall. Ist es aber ja nicht, da erst XY^2 kongruent 0 in dem modulo-Ring ist.

Zum assoziierten Teil:

Erstmal grundsätzlich - wenn I ein Ideal des Ringes R ist und wir den Faktorring R/I betrachten, dann gilt ja

.

So "übersetzt" man sich also modulo-Gleichungen anhand der Definition in Gleichungen, die über dem Ring gelten, zurück.

Nun angenommen, .

Nach Ausklammern von X-quer und Umformen ergibt dies mit der Anwendung obiger Definition

.

Wenn du beachtest, dass X ein Primelement in K[X,Y] ist und was dort die Einheiten sind - schaffst du es evtl., das zum Widerspruch zu führen?

Zur Gleichheit der erzeugten Ideale:

Ist dir schon klar, welche Richtung hier die triviale ist?
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