Dimension |
30.11.2017, 20:26 | Boggie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dimension Ich habe folgende Aufgabe. Dabei stellt sich die Frage warum die Dimension von der Wahl der a_i abhängen kann. Kann mir das jmd bitte beantworten? |
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30.11.2017, 20:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Beispiel 1 besteht aus den Lösungen der Gleichung Was ist ? Beispiel 2 besteht aus den Lösungen der Gleichung Was ist ? Und wie ist das allgemein? |
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30.11.2017, 22:30 | Boggie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Im Beispiel 1 ist Dimension 0. Im Beispiel 2 ist Dimension 2. D.h die Dimension ist die Anzahl der a_i ungleich 0. |
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01.12.2017, 06:20 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
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01.12.2017, 07:33 | Boggie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was sehe ich falsch? |
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01.12.2017, 07:37 | Boggie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nochmal. Die die Dimension bei 1 ist 3 , da die Vektoren linear unabhängig sind. Die Dimension ist bei 2, da nur ein Vektor linear unabhängig ist, d.h die Dimensiom bestimmt sich durch die Anzahl linear unabhängiger Vektoren eines EZS, bei denen die a_i=0 sind. |
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01.12.2017, 09:07 | Boggie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Zum Beweis Unterraum: 1. Nichtleer: Wähle a_i=0 , d.h der Nullvektor ist enthalten. 2. Abgeschlossenheit der Addition: Sei Dann ist auch , denn 3. Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation: Sei und dann ist auch denn Stimmt das so? |
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01.12.2017, 09:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Welche Dimension hast du denn nun bei Beispiel 2?
Die Folgerung ist falsch, wenn du mal die obige Frage korrekt beantwortest.
Unfug. Die a_i sind irgendwelche fest vorgegebene Elemente des Körpers K. Du solltest x_i = 0 wählen.
Korrekt ist: Die anderen Summen solltest du auch mit dem Laufindex i ausstatten. |
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01.12.2017, 09:32 | Boggie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich hätte gedacht, dass die Dimension bei Bsp 2 1 ist. Stimmt auch die Skalarmultiplikation abgesehen vom dem Index |
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01.12.2017, 10:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ah ja. Bei Beispiel 2 fallen mir spontan die Vektoren (2, 0, 1) und (0, 1, 0) als mögliche Elemente von U ein. Bleibst du bei deiner Behauptung?
Wo du mich so fragst, sehe ich direkt formale Schwächen. Du mußt ja dieses zeigen: für jedes . So läuft dann der Beweis: Sei und . Dann ist: Somit ist . |
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01.12.2017, 11:55 | Boggie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok danke für deine Korrektur. Trotzdem verstehe ich leider nicht, wie die a_i die Dimension bestimmen. Anscheinend ist ja die Dimension von Bsp 2 2 |
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01.12.2017, 12:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Korrekt.
Was macht ein Mathematiker, wenn er eine Situation noch nicht ganz verstanden (zumindest als eine Möglichkeit)? Er probiert weitere Beispiele durch. OK, das ist Arbeit, aber manchmal hilft das, ein Problem besser zu durchschauen. Man kann es natürlich auch systematisch angehen. Letztlich hat man hier ein "Gleichungssystem" das nur aus einer Gleichung besteht. Dies kann man auch mit einer einzeiligen Matrix A bestehend aus den a_i darstellen. Der Unterraum U ist dann der Kern der Matrix A. Bekanntlich gilt für dessen Dimension: dim(Ker(A)) = dim(K^n) - rang(A). Welche mögliche Ränge kann nun die Matrix A haben? |
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01.12.2017, 16:48 | Boggie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Matrix kann doch entweder vollen Rang oder n-1, n-2 usw haben. Nochmal zu dem Beispielen. Bei Beispiel 1 kann ich den Nullvektor als Linearkombination von 3 Vektoren darstellen also dim=3, aber der Nullvektor ist doch immer durch die triviale Kombination darstellbar. Bei Beispiel 2 erzeugen 2 Vektoren einen bliebigen. Deshalb ist die Dimension 2. Oder sehe ich was falsch? |
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02.12.2017, 16:43 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Und was ist n in diesem Fall? Achtung: das n ist hier nicht das n von dem K^n. Wir haben es mit einer einzeiligen Matrix zu tun. Da ist die Anzahl der möglichen Ränge ziemlich eingeschränkt.
Ich weiß nicht welchen Gedankengang du da hast. Es geht hier nicht darum, wie der Nullvektor dargestellt werden kann, sondern es geht um den Lösungsraum einer Gleichung. Beim 1. Beispiel besteht die Basis des Lösungsraums aus 3 Vektoren, im 2. Beispiel aus 2 Vektoren. Entsprechend ist die Dimension 3 bzw. 2. |
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02.12.2017, 17:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Einmal weniger formal gedacht. Die Dimension ist doch so etwas wie die Anzahl der Freiheiten, die man bei der Lösung besitzt. Die Gleichung wird offenbar von jedem Tripel erfüllt. Damit ist die Lösungsmenge . Der hat aber die Dimension 3. Man hat drei Freiheiten: dürfen beliebig und unabhängig voneinander bestimmt werden. Immer ist die Gleichung wahr. Es sei nun mindestens einer der Koeffizienten , ohne Beschränkung der Allgemeinheit . Jetzt kann man beliebig vorgeben (zwei Freiheiten), ist nicht mehr frei wählbar, sondern aus der Gleichung zu berechnen. Das geht, weil die Division durch möglich ist. Im Beispiel 2 gibt man vor und rechnet Damit sind alle Tripel Lösungen der Gleichung. Durch Trennen der Bestandteile mit und erhält man Das sind die Elemente von , wenn man alle reellen Zahlen durchlaufen läßt. Die zwei Freiheiten sagen, daß die Dimension 2 besitzt. Gleichzeitig kann man eine Basis von ablesen: In der Schule läuft dieses Verfahren unter "aus der Normalenform einer Ebene eine Parameterdarstellung herstellen". In unserem Fall ist also geometrisch eine Ursprungsebene. Nur wenn alle drei Koeffizienten 0 sind, ist der gesamte dreidimensionale Raum. |
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03.12.2017, 09:50 | Boggie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Vielen Dank für eure Antworten Wenn ich das hoffentlich gewonnene Verständnis auf die Aufgabe übertrage, heißt das dass die Dimension n ist,falls a_i=0. Jedes n -Tupel würde ja die Gleichung lösen. Jedes reduziert die Dimension von n um 1,da man nach dem umstellen kann. D.h das zugehörige ist nicht mehr frei wählbar, sondern aus der Gleichung auszurechnen. Stimmt das so? |
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03.12.2017, 10:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hier fehlt ein Quantor. So kann man das nicht gelten lassen.
Das stimmt nicht. Es geht nicht darum, wie viele sind, sondern wie viele der frei wählbar sind. Dieser Irrtum von dir durchzieht den ganzen Strang hier. Alle Hinweise, die dich auf die richtige Lösung bringen sollen, hast du entweder ignoriert oder sie zumindest nicht durchdacht. Ich könnte dir jetzt die Lösung verraten, aber ich finde, du solltest deinen Denkfehler selber herausfinden. Und bitte nicht noch einmal damit kommen, daß die Anzahl der (unmittelbar) eine Rolle spielt. In Wahrheit geht es um die Anzahl der nichttrivialen Gleichungen. Warum machst du nicht einfach einmal weitere Beispiele? Beispiel 3 Beispiel 4 Beispiel 5 Wie viele der Variablen sind jeweils frei wählbar, um die jeweilige Gleichung zu lösen? |
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03.12.2017, 10:43 | Boogie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Tut mir leid Also Beispiel 3: x1 und x3 sind frei wählbar. Die Dimension ist 2. Beispiel 4: x3 ist frei wählbar. Die Dimension ist 1. Beispiel 5: Keine der Variable ist frei wählbar |
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03.12.2017, 16:54 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
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03.12.2017, 17:09 | Boogie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das Beispiel 4 hat auch Dimension 2, da x2 und x3 frei wählbar sind? Beispiel 5 hat Dimension 1, da x3 frei wählbar ist. |
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03.12.2017, 17:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
In allen drei Beispielen sind immer zwei Variablen frei wählbar. Beispiel 5 Man errechnet: , und die Gleichung ist erfüllt. Man errechnet: , und die Gleichung ist erfüllt. |
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03.12.2017, 17:27 | Boogie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Weil man ja nur 1 Gleichung mit 3 Unbekannten hat. Heißt das in der Aufgabe, dass die Dimension n-1 ist? |
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03.12.2017, 17:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, falls auch wirklich eine echte Gleichung vorliegt. Nur wenn alle Koeffizienten 0 sind, also letztlich gar keine echte Gleichung vorliegt, ist die Dimension n. Schwere Geburt ... |
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03.12.2017, 18:24 | Boogie23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke dir für alles, vor allem deine Geduld |
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