Zusammenhang der Kovarianzfunktion eines Prozesses und positiv definite Funktion

01.12.2017, 12:36

Razielle

Zusammenhang der Kovarianzfunktion eines Prozesses und positiv definite Funktion

Hallo alle zusammen!

Beim Lesen eines Buches über den Zusammenhang von reproducing Kernels und stochastischen Prozessen bin ich über ein Theorem gestoßen, dessen Beweis ich gerne verstehen würde. Ich hoffe jemand kann mir bei dem abschließenden Schritt helfen.

$\begin{eqnarray*} \text{Eine Funktion R ist eine Momentfunktion zweiter Ordnung, d.h. } R(s,t) = E[X_t,X_s] \forall s,t \in T \text{ eines stochastischen Prozesses } X_t, t \in T, \text{ T Indexmenge, genau dann wenn R eine positiv definite Funktion auf } T \times T \text{ ist.} \end{eqnarray*}$

Der Beweis, dass eine solche Kovarianzfunktion positiv definit ist ist klar.
Umgekehrt folgt aus der Definition für ein positiv definite Funktion nun direkt, dass

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N}, \forall t_1,...,t_n \in T \text{ und } \forall u_1,...,u_n \in \mathbb{R} \text{ gilt:} \\ \sum_{i,j = 1}^n u_i u_j R(t_i,t_j) = (u_1,...,u_n)* (R(t_i,t_j)_{i,j = 1,...,n})*(u_1,...,u_n)^T \ge 0 \end{eqnarray*}$
Wobei nun
$\begin{eqnarray*} (R(t_i,t_j)_{i,j = 1,...,n}) \end{eqnarray*}$
eine positiv symmetrische Matrix ist. Mit dessen Hilfe, kann ich mir einen Prozess bestehend aus endlich vielen normalverteilten Zufallsvariablen basteln.

An dieser Stelle bricht der Beweis im Buch aber leider mit den Worten

Zitat:

Es genügt nun zu zeigen, dass dieses Gesetzt, was für alle endlichen Teilmengen von T definiert ist, kosistent ist, was klar ist.

ab.
Leider ist mir nicht klar, warum damit die Aussage auch für ganz T gezeigt sein soll.

Wenn nun jemand einen Denkanstoß hat, warum das klar zu sein scheint und die Aussage für ganz T gilt, dann wäre ich für dessen Hilfe sehr dankbar!

Mit freundlichen Grüßen,

Raze

Edit (mY+): (Harte) Zeilenumbrüche innerhalb LaTeX entfernt. "\\" ist ausreichend.

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