Konvergenz der Reihe mit Majorantenkriterium beweisen

01.12.2017, 13:41

Olaf777

Konvergenz der Reihe mit Majorantenkriterium beweisen

Hi, ich soll die Konvergenz folgender Reihe zeigen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}*(e-(1+\frac{1}{n})^n) \end{eqnarray*}$

(den konkreten Grenzwert muss ich nicht ermitteln.)
Ich dachte, ich zeige das durch das Majorantenkriterium.

Ich habe bereits gezeigt, dass:
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n<e<(1+\frac{1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$

und wollte damit eine konvergent Majorante finden. Bin aber bisher erfolglos geblieben...
Hat jemand von euch einen Tipp bzw eine Vorangehensweise dafür?

01.12.2017, 13:43

IfindU

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RE: Konvergenz der Reihe mit Majorantenkriterium beweisen
Das passt doch perfekt. Zeig mal was du damit anstellst!

01.12.2017, 13:50

Olaf777

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RE: Konvergenz der Reihe mit Majorantenkriterium beweisen
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}*(e-(1+\frac{1}{n})^n)<\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}*(e-e)=\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}*0=\sum\limits_{n=1}^{\infty } 0 = 0 \end{eqnarray*}$

So?

01.12.2017, 13:51

IfindU

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RE: Konvergenz der Reihe mit Majorantenkriterium beweisen
Wegen dem Minus vor der Klammer geht die Unlgeichung in die andere Richtung.
Also
$\begin{eqnarray*} - \left ( 1 + \frac 1 n \right)^n > -e \end{eqnarray*}$ .
Damit:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}*(e-(1+\frac{1}{n})^n)>\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}*(e-e)=\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}*0=\sum\limits_{n=1}^{\infty } 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .
Was richtig ist. Aber wenig hilfreich Augenzwinkern

Schätze lieber $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ nach oben mit der anderen Ungleicung ab.

01.12.2017, 14:13

Olaf777

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...< $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n*(1+1/n)^{n+1}-(1+1/n)^{n} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n*(1+1/n)^{n}*((1+1/n)-1) \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n*(1+1/n)^{n}*\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n^2*(1+1/n)^{n} \end{eqnarray*}$

< $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}*e \end{eqnarray*}$

stimmen diese umformungen?

01.12.2017, 14:15

IfindU

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In der ersten Zeile warst du etwas zu sparsam mit einer Klammer. Ansonsten perfekt Freude

01.12.2017, 14:17

Olaf777

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Zitat:

Original von IfindU
In der ersten Zeile warst du etwas zu sparsam mit einer Klammer. Ansonsten perfekt Freude

Passt, dankeschön Augenzwinkern

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