Vollständigkeit, metrischer Raum

Neue Frage »

01.12.2017, 15:26	Ellias17	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeit, metrischer Raum Meine Frage: Meine Aufgabe ist: Sei (X,d) ein metrischer Raum, so dass X kompakt ist. Zeigen Sie, dass (X,d) vollständig ist. Meine Ideen: X kompakt heißt: beschränkt und abgeschlossen (X,d) vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in X kovergiert. wie soll ich den Beweis führen? Danke für Ihre Hilfe!
01.12.2017, 15:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeit, metrischer Raum Das heißt kompakt NICHT! Das gilt im $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Und in der Klasse der Vektorräume auch nur da (bis auf Isomorphien). Schlag mal lieber nach was kompakt wirklich heisst. Am besten Folgenkompakt, weil es hier damit deutlich leichter geht.
01.12.2017, 16:00	Ellias17	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition aus der Vorlessung: Menge M aus X heißt folgenkompakt falls jede (an) aus M eine kompakte Teilfolge (a'n) mit Grenzwert in M besitzt. Sei (X;d) metrischer Raum, M aus X. Dann gilt: M ist kompakt <==> M ist folgenkompakt.
01.12.2017, 16:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt. D.h. sei $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ eine Cauchy-Folge in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Wir zeigen, dass sie konvergiert, womit wir Vollständigkeit gezeigt hätten. Nun ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ Folgenkompakt, also gilt was für $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ ?
01.12.2017, 16:28	Ellias17	Auf diesen Beitrag antworten »
(xn) ist beschränkt und besitzt einen Häufungspunkt
01.12.2017, 16:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut. Das heißt es gibt eine Teilfolge $\begin{eqnarray} (x_{n_k}) \end{eqnarray}$ und Grenzwert $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{k \to\infty} x_{n_k} = x \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du zeigen, dass die ganze Folge bereits gegen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ konvergiert. Dafür ist die Cauchy-Eigenschaft der Folge nötig.
Anzeige

01.12.2017, 16:42	Ellias17	Auf diesen Beitrag antworten »
für alle Epsilon >0 gibt es No aus IN für alle n,m aus IN >=No gilt d(xn-xm)<E
01.12.2017, 16:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will dir nicht alles aus der Nase ziehen. Schreibe dir auf, was die zu zeigende Konvergenz laut Definition heißt. Schreibe dir auf, welche Konvergenz wir bereits gezeigt haben. Versuche mit der Cauchyeigenschaft die fehlende Konvergenz zu zeigen.
02.12.2017, 15:31	Ellias17	Auf diesen Beitrag antworten »
X=> kompakt => folgenkompakt(wenn jede Folge aus X einer konvergente Folge besitzt) Sei (xn) eine Cauchy-Folge in X. Dann ist (xn) beschränkt und besitzt eine konvergente Teilfolge (xnk) mit x aus X(Grenzwert). Sei E>0. Dann existiert n0 aus N für alle n,m aus N>=n0 gilt Ixn - xmI < E/2 Also gilt für alle n aus N>=n0 : Ixn - xI<=I(xn) -(xnk)I+I(xnk) -xI < E/2+E/2 = E => xn ---> x
02.12.2017, 15:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
An deinem LaTeX gibt es noch Verbesserungspotential, aber der Beweis stimmt. Was du gerade gezeigst hast: Eine Cauchyfolge konvergiert genau dann, wenn eine Teilfolge konvergiert.
02.12.2017, 15:46	Ellias17	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke. wie geht's weiter? was soll ich dann verbessern? wie soll ich zeigen dass jede CF konvergiert?
02.12.2017, 15:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeit, metrischer Raum Das hast du doch schon. Du hast eine beliebige Cauchyfolge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ genommen und gezeigt, dass diese konvergiert. Also konvergieren alle Cauchyfolgen.
02.12.2017, 15:52	Ellias17	Auf diesen Beitrag antworten »
klar, danke

Neue Frage »

Antworten »

Vollständigkeit, metrischer Raum

Verwandte Themen