Quadratische Gleichung von Körper

01.12.2017, 16:44	Gast781	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Gleichung von Körper Hallo, ich hänge gerade an einer Aufgabe fest und würde mich über Hilfe freuen. Es seien K ein Körper, $\begin{eqnarray} a\in K^x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b\in K \end{eqnarray}$ . Wir setzen $\begin{eqnarray} 2 = 1 + 1 \in K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 4 = 2 + 2 \in K \end{eqnarray}$ . In dieser Aufgabe betrachten wie die quadratische Gleichung (Q) $\begin{eqnarray} ax^2+bx+c= 0 \end{eqnarray}$ . a) Es sei K von Charakteristik char(K) $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 2, d. h. in K gelte 2 $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 0. Zeigen Sie, dass die Gleichung (Q) genau dann eine Lösung $\begin{eqnarray} x\in K \end{eqnarray}$ besitzt, wenn es ein $\begin{eqnarray} d\in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d^2=b^2-4ac \end{eqnarray}$ gibt. Benutzen Sie hierbei nicht einfach die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, sondern zeigen Sie, dass diese Formel auch tatsächlich eine Lösung von (Q) liefert. b) Es sei nun K= $\begin{eqnarray} \mathbb F _{2} \end{eqnarray}$ . Stellen Sie ein Lösbarkeitskriterium für die Gleichung (Q) auf und beweisen Sie Ihr Kriterium. Mein Lösungsansatz zur a): $\begin{eqnarray} (\sqrt{a} x+\sqrt{c})^2-2\sqrt{a}x\sqrt{c}+bx = 0 \end{eqnarray}$ ==> $\begin{eqnarray} (\sqrt{a} x+\sqrt{c})^2-x(-2\sqrt{a} * \sqrt{c}+b) = 0 \end{eqnarray}$ ==> $\begin{eqnarray} (\sqrt{a} x+\sqrt{c})^2-xd = 0 \end{eqnarray*}$ Edit (mY+): Für die Schulmathematik ist der Text reichlich komplex. Ich habe deshalb den Thread in die HS-Mathe verschoben.
01.12.2017, 18:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Lösungsansatz verstehe ich nicht. Was willst du damit sagen ? Wieso glaubst du, dass ein Körper, der a und c enthält, auch Quadratwurzeln daraus enthält ? (Schon Euklid wusste, dass $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ eine rationale Zahl ist, dass $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ aber nicht rational ist.) Welche der beiden Quadratwurzeln würdest du wählen, wenn er Quadratwurzeln enthielte ? Hinweis zu a) Betrachte die Lösungsformel und zeige, dass die Lösungen in K liegen. Hinweis zu b) Betrachte alle quadratischen Gleichungen über $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$

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