N-Dimensionales Simplex Volumen berechnen

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Marco4411 Auf diesen Beitrag antworten »
N-Dimensionales Simplex Volumen berechnen
Meine Frage:
Zeige für alle t > 0, dass für
gilt :

Meine Ideen:
Ich wollte das ganze mit Induktion beweisen:

für n=1:

es folgt l(S)=|t-0|=t (passt)

IV:...

I.S: Hier brauche ich das Prinzip von Cavalieri:



passt das erstmal soweit? Ich bin mir nicht sicher und wenn weiss ich ab hier nicht wirklich weiter..

Ich freue mich auf eure Hilfe!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist wohl besser, für den Integrationsbereich zu schreiben und im Satz über alle zu quantifizieren.

Die Ungleichung



kann bei nichtnegativen Koordinaten nur gelten, wenn ist. Und umgekehrt findet man für jedes solche auch , so daß die Ungleichung gilt. Daher integriert man von bis und in Abhängigkeit von einem solchen dann über alle mit



Diese Ungleichung für nichtnegative Koordinaten bestimmt im die Menge . Daher gilt



Und damit läßt sich die Induktion einfach durchführen.
 
 
Marco4411 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, also langsam:
Der Induktionsanfang bleibt ja bestehen.

Nach deiner Identität folgt dann:



Aber wie soll ich denn nun meine Induktionsvoraussetzung benutzen? verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Gleichung verstehe ich nicht. Wieso integrierst du zum Beispiel über ganz ? Ich vermute, das kommt aus der Arbeit mit Indikatorfunktionen, wie man sie gerne in der Lebesgueschen Integrationstheorie verwendet. Die Idee mit dem Prinzip von Cavalieri ist schon richtig.

Nehmen wir als Beispiel den dreidimensionalen Fall. Das dreidimensionale Simplex ist das Tetraeder mit den Eckpunkten



[attach]45896[/attach]

Führen wir nach Cavalieri nun Schnitte parallel zur -Koordinatenebene durch. Beim Niveau wird ein zweidimensionales Simplex, also ein rechtwinkliges Dreieck ausgeschnitten. In die -Ebene projiziert hat das Dreieck (ohne dritte Koordinate) die Ecken



Nach Induktionsvoraussetzung hat es den Inhalt



Das ist die bekannte Flächenformel für ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit als Kathete. Nach Cavalieri sind diese Dreiecksflächen für jedes mögliche aufzuintegrieren, um den Inhalt des Tetraeders zu bestimmen:



Und das war der Induktionsschritt von auf .
Marco4411 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme immer hierher, und weiss nicht wie ich hier die Integrale rausbekommen soll




Irgendwas mache ich hier falsch, ich weiss es nicht. unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Setze die Induktionsvoraussetzung ein:



Wichtig ist, daß in der Behauptung über alle quantifiziert wird.
Marco4411 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme dann auf:



verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Da stimmt ja schon einmal der Nenner. Hast du das bemerkt? Und wo im Zähler die herkommt, bleibt dein Geheimnis.
Marco4411 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, ist für mich noch Sonntagmorgens.

Danke für deine Hilfe!
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