Grenzwert von Folge

02.12.2017, 14:02

T1m1234

Grenzwert von Folge

Meine Frage:
Meine Aufgabe ist es von der Folge: $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{\sqrt{2n}}}{\sqrt{8*n-2}-\sqrt{8*n-5}} \end{eqnarray*}$ den Grenzwert zu bestimmen (Ergebniss muss $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ sein)

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{\sqrt{2n}}}{\sqrt{8*n-2}-\sqrt{8*n-5}} \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2*n}*(\sqrt{8*n-2}-\sqrt{8*n-5})} \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2*n}}{2*n*\sqrt{8*n-2}-2*n*\sqrt{8*n-5}} \end{eqnarray*}$ |: $\begin{eqnarray*} \sqrt{8*n-2} \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\sqrt{2*n}}{\sqrt{8*n-2}}}{2*n*-2*n*\frac{\sqrt{8*n-5}}{\sqrt{8*n-2}}} \end{eqnarray*}$
Weiter komme ich jedoch nicht, ich weiß jedoch das der Zähler des haupt Bruchs nach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ strebt und der Nenner nach $\begin{eqnarray*} \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$ , dass heißt das müsste der richtige Ansatz sein

02.12.2017, 14:31

G021217

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RE: Grenzwert von Folge
Erweitere so, dass im Nenner die 3.Binomische Formel entsteht.

02.12.2017, 15:37

Mesut95

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RE: Grenzwert von Folge
Hallo T1m1234,

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{\sqrt{2n}}}{\sqrt{8*n-2}-\sqrt{8*n-5}} \end{eqnarray*}$

äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{\sqrt{2} } }{\frac{(\sqrt{8n-2}-\sqrt{8n-5}) (\sqrt{8n-2}+\sqrt{8n-5} ) }{ \sqrt{8n-2}+\sqrt{8n-5} } } \end{eqnarray*}$

daraus folgt $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\sqrt{2}*(\sqrt{4-1/n} +\sqrt{4-5/n} }{\sqrt{2} } }{3} \end{eqnarray*}$

Kürzen den Grenzwert bilde Bringt : 4/3

Weiß nicht ob es GO... auch so gemeint hat

02.12.2017, 16:22

ML_

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RE: Grenzwert von Folge
Multipliziere $\begin{eqnarray*} \sqrt{2n} \end{eqnarray*}$ in den Nenner hinein. Klammere in der Wurzel den Faktor $\begin{eqnarray*} 16n^2 \end{eqnarray*}$ vor und ziehe ihn in der Form 4n vor die Wurzel. Anschließend kannst Du die Näherung $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+z} \approx 1+\frac{1}{2} z \end{eqnarray*}$ (gültig für kleine $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|\ll 1 \end{eqnarray*}$ ) anwenden.

02.12.2017, 16:31

klarsoweit

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RE: Grenzwert von Folge

Zitat:

Original von Mesut95
daraus folgt $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\sqrt{2}*(\sqrt{4-1/n} +\sqrt{4-5/n} }{\sqrt{2} } }{3} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie du diese Umformung zustande bringst. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt n \cdot (\sqrt{8-2/n} + \sqrt{8-5/n)}}{3\sqrt 2 \sqrt n} \end{eqnarray*}$

Das erspart auch die von ML vorgeschlagene Näherung, die irgendwo immer einen Beigeschmack hat.

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