Lebesgue-Maß auf Q = 0

02.12.2017, 16:00

forbin

Lebesgue-Maß auf Q = 0

Hallo,

ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lambda^{1}(\mathbb Q) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Wir haben das Lebesgue-Maß folgendermaßen definiert:
$\begin{eqnarray*} \lambda^{d} ( ]a,b]) = \prod\limits_{j=1}^{d}(b_{j}-a_{j}) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb R^{d}, \frak{B}(\mathbb R^{d})) \end{eqnarray*}$

Nun habe ich leider keinen wirklich passenden Ansatz gefunden.
Ich habe erst gedacht, an jede rationale Zahl ein rationales $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu addieren, aber das läuft ja dann nur auf die Einpunktmengen hinaus.
Ich habe schon recherchiert, aber mit "Überdeckungen" haben wir bisher nicht gearbeitet.

Könnt ihr mir einen Tipp geben?

02.12.2017, 16:03

IfindU

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RE: Lebesgue-Maß auf Q = 0
Suche erst einmal die korrekte Definition des Lebesgue-Maßes. Deine Definition weist nur Intervallen ein Maß zu. Damit ist $\begin{eqnarray*} \lambda^1(\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert. Insbesondere kannst du nicht zeigen, dass es 0 ist.

Ausser natürlich, du weißt zusätzlich bereits, dass es ein Maß ist und damit $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -additiv ist. Dann ist es einfach.

02.12.2017, 16:08

forbin

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RE: Lebesgue-Maß auf Q = 0

Zitat:

Original von IfindU
Ausser natürlich, du weißt zusätzlich bereits, dass es ein Maß ist und damit $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -additiv ist. Dann ist es einfach.

Ja, das weiß ich.
Daher dachte ich auch daran, dass ich die rationalen Zahlen sicher als Vereinigung disjunkter Mengen darzustellen?
Aber ich komme nicht darauf unglücklich

02.12.2017, 16:09

IfindU

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RE: Lebesgue-Maß auf Q = 0
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q = \bigcup_{q \in \mathbb Q} \{ q \} \end{eqnarray*}$ ? Big Laugh

02.12.2017, 16:26

forbin

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Das habe ich auch gedacht...
Gehindert hat mich daran allerdings der Gedanke: $\begin{eqnarray*} \mathbb R = \bigcup\{r\} \forall r\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Darf ich das nicht, weil die Verienigung nicht mehr abzählbar ist?

02.12.2017, 16:29

IfindU

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Das kannst du auch so schreiben. Aber diese Vereinigung ist überabzählbar, da hast du Recht. Und man weiß von Maßen, dass für disjunkte, abzählbare Vereinigungen gilt
$\begin{eqnarray*} \mu ( \bigcup_{ n \in \mathbb N } A_n ) = \sum_{n \in\mathbb N} \mu(A_n) \end{eqnarray*}$ .

D.h. du kannst $\begin{eqnarray*} \mu( \mathbb R) = \mu ( \bigcup_{r \in \mathbb R} \{ r\} ) \end{eqnarray*}$ schreiben, aber es sagt dir niemand, dass es das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} \sum_{r \in \mathbb R} \mu( \{ r\}) \end{eqnarray*}$ .
Was schon kritisch ist, weil überabzählbare Reihen selten eine gute Idee sind.

02.12.2017, 16:34

forbin

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Ist ja toll, da habe ich direkt zwei Dinge gelernt!

Also:
$\begin{eqnarray*} \lambda(\mathbb Q) = \lambda(\bigcup\limits_{q\in\mathbb Q}(\{q\}) = \sum\limits_{q\in\mathbb Q}\lambda(\{q\}) = 0 \end{eqnarray*}$
?

02.12.2017, 16:37

IfindU

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Das letzte müsstest du noch begründen. Beim genaueren Hinsehen, habt ihr das Lebesguemaßes für halboffene Intervalle definiert. Hättet ihr es für abgeschlossene Intervalle, dann könntest du $\begin{eqnarray*} \{ q \} = [q,q] \end{eqnarray*}$ schreiben und dann die Definition verwenden.

So musst du noch ein wenig arbeiten, oder hoffen, dass ihr in der Vorlesung noch etwas mehr dazu bewiesen habt.

02.12.2017, 16:39

forbin

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Ja, so haben wir das definiert unglücklich

Sorry, ich dachte, dass gilt allgemein, sonst hätte ich das dazugeschrieben.

Hm, was fehlt denn nun? verwirrt

Edit: Ah

Wir haben gezeigt, dass die Borelmengen alle abgeschlossenen Mengen enthält. Damit auch das von dir vorgeschlagene Intervall.
Somit geht der Beweis so durch?

02.12.2017, 16:54

IfindU

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Das Intervall liegt drin, aber wir wissen nicht welches Maß es hat. D.h. es ist nur die Frage warum $\begin{eqnarray*} \lambda^1( \{ q \} ) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Man kann es begründen, z.B. Stetigkeit von Maßen oder direkt eine Überdeckung eines Punktes angeben. So ist z.B. $\begin{eqnarray*} \{ q \} \subset (q - \epsilon, q] \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Nun ist nach Definition $\begin{eqnarray*} \lambda^1( (q-\epsilon, q]) = \epsilon \end{eqnarray*}$ und nach Monotonie $\begin{eqnarray*} \lambda ( \{ q\} ) \leq \lambda ( (q-\epsilon, q]) = \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle Epsilon. Aber ein wenig muss man noch arbeiten.

02.12.2017, 16:55

forbin

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ok danke

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