Eulersche Zahl als Grenzwert beweisen

03.12.2017, 12:32

Snexx_Math

Eulersche Zahl als Grenzwert beweisen

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe bereitet mir teils große Schwierigkeiten:

In dieser Aufgabe beweisen wir, dass $\begin{eqnarray*} e = \lim_{n \to \infty } (1 + \frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$ gilt.
Arbeiten Sie dazu das folgende Programm ab:

i) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n})^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{n^{k}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

ii) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{n^{k}} \leq \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{k!} \leq 1+ \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} < 3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

iii) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} 1- \frac{j}{n} \leq 1- \frac{j}{n+1} \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} 0 \leq j \leq n-1 \end{eqnarray*}$

iv) - viii) versuche ich noch selber, denke nämlich, dass ich diese hinbekomme, wenn die ersten drei richtig bzw. gelöst sind.

Meine Ansätze bis jetzt:

zu i) : Man kann aus dem binomischen Lehrsatz $\begin{eqnarray*} ( (x+y)^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot x^{n-k} \cdot y^{k}) \end{eqnarray*}$ direkt schließen, dass $\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n})^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{n^{k}} \end{eqnarray*}$

zu ii)
Fehlt mir jede Kreativität dies umzuformen. Ich hatte jetzt nur : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{n^{k}} = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n!}{k! \cdot (n-k)! \cdot n^{k}} \end{eqnarray*}$
Komme damit aber nicht weiter. Würde jetzt höchstens noch daran denken dies abzuschätzen, tue mich damit aber immer schwer.

zu iii) Da $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N : n < n+1 \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \geq \frac{1}{n+1} \Rightarrow 1 - j \cdot \frac{1}{n} \leq 1- j \cdot \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

LG und danke für jeden Ratschlag smile

Snexx_Math

03.12.2017, 15:06

Leopold

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RE: Eulersche Zahl als Grenzwert beweisen

Zitat:

Original von Snexx_Math
ii) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{n^{k}} \leq \sum\limits_{k=0}^{n} \color{red} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{k!} \color{black} \leq \ldots \end{eqnarray*}$ gilt.

Vermutlich gehört der Binomialkoeffizient da weg:

$\begin{align*} \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot \frac{1}{n^k} \leq \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{align*}$

Für $\begin{align*} k=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} k=1 \end{align*}$ stimmen die Summanden auf beiden Seiten des Ungleichheitszeichens überein (jeweils der Wert 1). Man darf daher $\begin{align*} n \geq 2 \end{align*}$ und $\begin{align*} 2 \leq k \leq n \end{align*}$ annehmen. Und dann ist es nur eine Umsortierung im Nenner:

$\begin{align*} {n \choose k} \cdot \frac{1}{n^k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots \left( n - (k-1) \right)}{k!} \cdot \frac{1}{n^k} = \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \cdots \frac{n- (k-1)}{n} \cdot \frac{1}{k!} \end{align*}$

$\begin{align*} = 1 \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \cdot \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1 - \frac{k-1}{n} \right) \cdot \frac{1}{k!} \end{align*}$

04.12.2017, 15:19

Snexx_Math

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RE: Eulersche Zahl als Grenzwert beweisen
Danke für die Antwort !

Zitat:

Vermutlich gehört der Binomialkoeffizient da weg:

ja das tut er Augenzwinkern

Sry

Habe den Schritt jetzt nachvollzogen und verstanden.

Würde jetzt weitermachen mit:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \cdot \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} 2^{k} \leq k! \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^{k-1} \leq k! \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{k-1}}\geq \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ folgt, gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \cdot \frac{1}{k!} = 1+ \sum\limits_{k=1}^{n} \cdot \frac{1}{k!} \leq 1+ \sum\limits_{k=1}^{n} \cdot \frac{1}{2^{k-1}} \end{eqnarray*}$

Nächster Schritt:
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} 1+ \sum\limits_{k=1}^{n} \cdot \frac{1}{2^{k-1}} < 3 \end{eqnarray*}$
Dann also: $\begin{eqnarray*} 1+ 1+ \sum\limits_{k=2}^{n} \cdot \frac{1}{2^{k-1}} = 1+ 1+ \frac{1}{2} +\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...+ \frac{1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ Da die Brüche extremschnell klein werden und die Brüche zusammengefasst höchstens $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ werden, kann man den gesamten Term mit $\begin{eqnarray*} <3 \end{eqnarray*}$ abschätzen.

Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{n^{k}} \leq \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{k!} \leq 1+ \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} < 3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Noch Einwände oder alles abgesegnet ?

LG Snexx_Math

04.12.2017, 15:32

klarsoweit

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RE: Eulersche Zahl als Grenzwert beweisen

Zitat:

Original von Snexx_Math
Nächster Schritt:
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} 1+ \sum\limits_{k=1}^{n} \cdot \frac{1}{2^{k-1}} < 3 \end{eqnarray*}$
Dann also: $\begin{eqnarray*} 1+ 1+ \sum\limits_{k=2}^{n} \cdot \frac{1}{2^{k-1}} = 1+ 1+ \frac{1}{2} +\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...+ \frac{1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ Da die Brüche extremschnell klein werden und die Brüche zusammengefasst höchstens $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ werden, kann man den gesamten Term mit $\begin{eqnarray*} <3 \end{eqnarray*}$ abschätzen.

Das kann man mit der geometrischen Reihe eleganter lösen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^{k-1}} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2^k} = \frac{1 - (\frac 1 2)^n}{1 - \frac 1 2} < 2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Zitat:

Original von Snexx_Math
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{n^{k}} \leq \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{k!} \leq 1+ \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} < 3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Der Anfang lautet so: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \binom n k \cdot \frac{1}{n^k} \leq \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ smile

04.12.2017, 16:37

Snexx_Math

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RE: Eulersche Zahl als Grenzwert beweisen

Zitat:

Ah ok. Aber meine Variante war auch richtig ?

und

Zitat:

Zitat: Original von Snexx_Math $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{n^{k}} \leq \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{k!} \leq 1+ \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} < 3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zitat: Original von klarsoweit Der Anfang lautet so: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \binom n k \cdot \frac{1}{n^k} \leq \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

War ein copy paste fehler sry. Wer zu faul ist macht gerne mal Fehler :/

05.12.2017, 09:09

klarsoweit

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RE: Eulersche Zahl als Grenzwert beweisen

Zitat:

Original von Snexx_Math
Ah ok. Aber meine Variante war auch richtig ?

Nun ja, hinter deiner Argumentation steckt im Prinzip die Eigenschaft der geometrischen Reihe. Für meinen Geschmack fehlt hinter Formulierungen wie "extrem schnell klein werden" der exakte mathematische Unterbau. smile

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