Integral über Polarkoordinaten

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hokkas87 Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über Polarkoordinaten
Meine Frage:
Hallo alle zusammen. Ich habe die Folgende Aufgabe. (siehe Bild)

Meine Ideen:
Ich verstehe leider die Aufgabe nicht. Wie soll ich hier anfangen ?
Ich verstehe nicht wo ist der Graph F ? und wieso steht " Graph F" aber im folgenden heißt dann die FUnktion f ? soll ich nun sqrt(1+4x_1^2 +....) in Polarkord. Umwandelen ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral über Polarkoordinaten
Zitat:
Original von hokkas87
Ich verstehe nicht wo ist der Graph F ? und wieso steht " Graph F" aber im folgenden heißt dann die FUnktion f ?

Hier wird feinfühlig zwischen der Funktion f und ihrem Graphen F unterschieden. Rein formal ist die strenge Unterscheidung korrekt. Gelegentlich - wie anscheinend hier - kann sie auch verwirrend sein. Augenzwinkern

Zitat:
Original von hokkas87
soll ich nun sqrt(1+4x_1^2 +....) in Polarkord. Umwandelen ?

Ja, du sollst die Transformation und durchführen.

EDIT: Korrigiert. Danke zyko!
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral über Polarkoordinaten
@klarsoweit
Selbstverständlich sollte es
und
lauten.
Hokkas87 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral über Polarkoordinaten
Hallo und danke für die Antwort ..


Also wenn ich das mache kriege ich

Raus..

Soll ich das jetzt integrieren über drdphi oder was soll ich jetzt machen ?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Den Flächeninhalt einer gekrümmte Fläche mit der Parameterdarstellung berechnet man allgemein mit



Diese Formel solltest du aus der Vorlesung kennen. Bei Polarkoordinaten hat man speziell die Parameter und . Die Parameterdarstellung deiner Fläche lautet (=zweischaliges Hyperboloid)



Damit kannst du den Flächeninhalt mit der obigen Formel A=... leicht wie folgt berechnen:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Schritt 1: Berechne die beiden Vektoren und indem du die obige Parameterdarstellung nach R bzw. differenzierst.

Schritt 2: Berechne den Betrag des Vektorproduktes

Schritt 3: Integriere diesen Betrag über die beiden Variablen im Intervall bzw.
hokkas87 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ehos und danke für die Anleitung..

Ich bin nun im 2. schritt und habe für den Betrag des Kreuzproduktes raus. Stimmt das ? Oder kann ich das noch besser aufschreiben.

Vielen Dankf für die Hilfe
 
 
hokkas87 Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgendwie stimmt da was nicht ..
Ich habe alles berechnet und mit einem rechner kontroliiert aber ich komme nicht auf die Lösung von 13pi/3 ..... Und ich habe alle schritte befolgt was du mir geschrieben hast
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

ich glaube, hier lag irgendwo ein Missverständnis vor - @Ehos, es sollte um den Graphen der Funktion gehen und da hat der Aufgabensteller netterweise den Ausdruck



für uns ausgerechnet, damit wir nur noch integrieren müssen. Bist du evtl. von der Annahme ausgegangen, dass der Term der Funktion sei, von deren Graph der Oberflächeninhalt bestimmt werden soll?


Zitat:
Original von Hokkas87
Hallo und danke für die Antwort ..


Also wenn ich das mache kriege ich

Raus..

Soll ich das jetzt integrieren über drdphi oder was soll ich jetzt machen ?


Ich würde es mit r multiplizieren und dann über drdphi integrieren, dann fällt einem auch leichter eine funktionierende Substitution ein, und bei mir kommt 13pi/3 raus. (Wenn du schon weißt, was rauskommt, wäre es übrigens nett gewesen, das am Anfang zu erwähnen und zu nennen Augenzwinkern )

LG
sibelius84
hookas76 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sibelius und danke für die antwort ich beschäftige mich mit der Aufgabe seit wochen !
Die Lösung kam erst die Woche Online.
Wie kommst du aber drauf ein r zu multiplizieren ? Dann ändern wir doch die FUnktion die Integriert werden soll ? darf man das einfach so machen?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz

oder noch besser hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Funktional...olarkoordinaten

Wenn du ein Integral nach x_1, x_2 bzw. nach x, y da stehen hast und dann über den Transformationssatz neue Koordinaten einführst, musst du immer mit der Funktionaldeterminante multiplizieren. Im vorliegenden Fall der Polarkoordinaten lautet diese einfach: r.
hookas87 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso also müssen wir ja r multiplizieren das ist also pflicht ich verstehe...
Wie würdest du dann dieses Integral lösen ? DU sagtest mit SUbs ? und wie genau
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde substituieren: . Wie man substituiert, habe ich gerade heute hier erklärt, wenn auch nicht an einem besonders geeigneten Beispiel:
Integral durch Substitution
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