Vollständigkeit, Cauchy-Folge |
| 03.12.2017, 12:41 | ANAG17 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vollständigkeit, Cauchy-Folge Sei (X,d) metrischer Raum, X:=R>0 und Metrik d(x,y):= | \frac{1}{x} - \frac{1}{y} | Zeigen Sie, dass {n}_n ?N eine Cauchy-Folge bzgl. dieser Metrik ist. Ist dieser metrische Raum vollständig? Meine Ideen: Sei {n}_n ?N eine konvergente Folge in X und a \in X mit a:= \lim_{n \to \infty } n. Sei E>0. Dann existiert nach Voraussetzung ein n_0 \in N; so dass für alle n \in N_(>=0) gilt d(n,a)<E/2 Dann gilt für das selbe n_0 \in N und alle n, n' \in N_(>=0) : d(n, n') \leq d(n,a)+d(a,n') = d(n,a)+d(n',a) < E/2 + E/2 = E Also ist {n}_n ?N eine Cauchyfolge. wie soll ich den Beweis bzgl. Metrik führen? |
||||
| 03.12.2017, 13:02 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu dumm, dass es dieses gar nicht gibt. Somit ist das "sei" hinfällig, und die gesamte Beweisführung fällt in sich zusammen. 
Nein, du musst dich nach einem anderen Weg umsehen, die Cauchyfolgeneigenschaft nachzuweisen. Der direkte gemäß Definition tut es. |
||||
| 03.12.2017, 13:27 | ANAG17 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sei {n}_n \in N eine Cauchyfolge Folge in X, dann ist sie beschränkt und besitzt eine konvergente Teilfolge {n_k}_k \in N, dh für alle E>0 existiert ein k_0 \in N; so dass für alle k \in N_(>=0) gilt d(n_k, a)<E/2 Dann gilt für das selbe k_0 \in N und alle k, n \in N_(>=0) : d(n,n_k)<=d(n,a)+d(n_k,a) |
||||
| 04.12.2017, 11:51 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Woher hast du denn den Unsinn? Es ist nicht Kennzeichen einer Cauchyfolge, dass sie eine konvergente Teilfolge besitzt.
Eine Folge mit Werten in ist eine Cauchyfolge in einem metrischen Raum genau dann wenn es für jedes ein gibt, so dass für alle mit die Ungleichung gilt. Das, und nur das ist hier nachzuweisen, und das gelingt mit Wahl von problemlos. |
||||
| 04.12.2017, 13:18 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Vollständigkeit, Cauchy-Folge Ich vermute mal es ist der gleiche Fragesteller wie hier: klick Offenbar hat ihm/ihr Folgenkompaktheit zu sehr gefallen 
|
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
