Reihen auf Konvergenz untersuchen

03.12.2017, 12:17	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihen auf Konvergenz untersuchen Hallo zusammen, ich möchte bei folgenden Aufgaben eigentlich nur die Sicherheit abholen, dass dies stimmt, und ggf. Ratschläge zur Verbesserung : Aufgabe: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz: a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n+4}{n^{2}-3n +1} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } (\frac{2n+3}{3n+2})^{n} \end{eqnarray}$ zu a) Ich habe hierbei das Quotientenkriterium angewandt: $\begin{eqnarray} \Biggl\| \frac{\frac{n+5}{(n+1)^{2} -3(n+1)+1}}{\frac{n+4}{n^{2}-3n+1}} \Biggl\| = \Biggl\| \frac{n+5}{(n+1)^{2} -3(n+1)+1} \cdot \frac{n^{2}-3n+1}{n+4} \Biggl\| = \Biggl\| \frac{ n^{3}\cdot ( 1+ \frac{2}{n} - \frac{14}{n^{2}} +\frac{5}{n^{3}})}{ n^{3}\cdot ( 1+ \frac{3}{n} - \frac{5}{n^{2}} +\frac{4}{n^{3}}} \Biggl\| & n \rightarrow \infty & =1 \end{eqnarray}$ also nicht konvergent. zu b) Ich habe hierbei das Wurzelkriterium angewandt: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{(\frac{2n+3}{3n+2}})^{n} = \frac{2n+3}{3n+2} = \frac{n \cdot (2+\frac{3}{n})}{n \cdot (3 + \frac{2}{n})} = \frac{2+\frac{3}{n}}{3 + \frac{2}{n}} & n \rightarrow \infty & = \frac{2}{3} = q < 1 \end{eqnarray}$ Also konvergiert die Reihe absolut. LG Snexx_Math
03.12.2017, 17:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Einwand mY+
03.12.2017, 17:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegen die Ergebnisse habe ich auch keinen Einwand. Aber das Quotientenkriterium liefert hier keine Aussage. Der Grenzwert 1 bedeutet hier nur, dass weder ein exponentieller Abfall oder Anstieg stattfindet. Alles andere sieht das Kriterium einfach nicht.
03.12.2017, 18:29	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antworten Ist das Qotientenkriterium dann hier falsch gewählt oder ist die Reihe tatsächlich nicht konvergent ? LG Snexx_Math
03.12.2017, 18:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergent ist die Reihe. Aber das Quotientenkriterium liefert 1 bei den folgenden Reihen: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty n^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} \end{eqnarray}$ . Es ist absolut untauglich bei polynomiellen Geschichten.
03.12.2017, 19:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Huch, dann geht eventuell die abgewandelte Abschätzung für fast alle n, weiter unten ... mY+
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03.12.2017, 19:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das einfachste ist es nach unten gegen ein Vielfaches der harmonischen Reihe abzuschätzen. Eleganter geht es mit folgendem Satz. Seien $\begin{eqnarray} (a_n), (b_n) \end{eqnarray}$ nicht-negative Folgen bis auf endlich viele Folgenglieder. Ist $\begin{eqnarray} 0 < \liminf \frac {a_n} {b_n} \leq \limsup \frac { a_n}{b_n} < \infty \end{eqnarray}$ , so besitzt $\begin{eqnarray} \sum_n a_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum b_n \end{eqnarray}$ das gleiche Konvergenzverhalten. Hier angewandt mit $\begin{eqnarray} a_n = \frac { n+4}{n^2 - 3n +1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_n = \frac 1 n \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \frac { a_n } {b_n} =1 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \sum \frac 1 n \end{eqnarray}$ divergiert, tut es auch die gegebene Reihe $\begin{eqnarray} \sum a_n \end{eqnarray}$ .

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