x^4 Gleichung lösen ohne Taschenrechner

Neue Frage »

Jörg2000 Auf diesen Beitrag antworten »
x^4 Gleichung lösen ohne Taschenrechner
Meine Frage:
Ich möchte folgende Gleichung lösen:



Meine Ideen:
Natürlich kann ich die Gleichung durch vier teilen und anschließend eine doppelte Polynomdivision durchführen. Allerdings fällt es schwer, die erste Nullstelle zu "erraten" bei diesen Zahlen und ohne Verwendung eines Taschenrechners.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann teile doch durch 4. Das sollte man ohne Taschenrechner können. Das konstante Glied ist danach 1785. Es ist durch 3 teilbar (Quersummenregel) und durch 5 (Endzifferregel), also durch 15. Man erhält:



Und 119 ist durch 7 teilbar, denn . Man erhält so die Primfaktorzerlegung



Teiler ohne Primfaktor: 1
Teiler mit 1 Primfaktor: 3,5,7,17
Teiler mit 2 Primfaktoren: 15,21,51,35,85,119
Teiler mit 3 Primfaktoren: 105,255,357,595
Teiler mit 4 Primfaktoren: 1785

Diese Teiler und ihre Negativen kommen nur als ganzzahlige Nullstellen in Frage. Und in der zweiten Reihe wird man viermal fündig. Da es höchstens vier Nullstellen geben kann, ist die Aufgabe gelöst.
Jörg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Teiler ohne Primfaktor: 1
Teiler mit 1 Primfaktor: 3,5,7,17
Teiler mit 2 Primfaktoren: 15,21,51,35,85,119
Teiler mit 3 Primfaktoren: 105,255,357,595
Teiler mit 4 Primfaktoren: 1785

Diese Teiler und ihre Negativen kommen nur als ganzzahlige Nullstellen in Frage. Und in der zweiten Reihe wird man viermal fündig. Da es höchstens vier Nullstellen geben kann, ist die Aufgabe gelöst.


Diesen Teil verstehe ich noch nicht ganz. Was sind das für Teiler und wie kann ich mit denen auf die Nullstellen schließen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ganzzahlige Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind immer Teiler des konstanten Gliedes.

Beispiel:



Das konstante Glied ist -6. Die Teiler sind .

Man probiert die acht Zahlen durch und stellt fest, daß nur -3 Nullstelle ist. Also ist -3 die einzige ganzzahlige Nullstelle. (Nullstellen, die nicht ganzzahlig sind, kann man mit diesem Verfahren nicht ermitteln.)
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe dazu auch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_über_...ale_Nullstellen

@Leopold: Wünsche einen schönen ersten Advent! smile
Jörg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar vielen Dank, somit erkennt man einfach, dass die Nullstellen 3, -5, 7, -17 sind. Kannst du mir vielleicht noch kurz erklären warum in den Lösungen noch eine vier vor dem ersten Term steht:



Ist die Vier nicht unerheblich, da sobald ein Term in einer Klammer Null wird, die ganze Gleichung Null ist?

Außerdem verstehe ich den Hinweis, welcher bei der Aufgabe gegeben war nicht so wirklich:

"Weiterhin gilt für jedes normierte Polynom (Koeffizient 1 vor dem Term höchsten Grades), dass jede Nullstelle den konstanten Term teilt."

Nochmals vielen Dank und einen schönen ersten Advent.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jörg2000
Kannst du mir vielleicht noch kurz erklären warum in den Lösungen noch eine vier vor dem ersten Term steht:



Ist die Vier nicht unerheblich, da sobald ein Term in einer Klammer Null wird, die ganze Gleichung Null ist?

Bezüglich der Nullstellen spielt die 4 keine Rolle. Wenn du aber willst, daß g(x) dieselbe Funktion wie am Anfang bleibt:
Zitat:
Original von Jörg2000


dann muß die 4 dahin.

Zitat:
Original von Jörg2000
Außerdem verstehe ich den Hinweis, welcher bei der Aufgabe gegeben war nicht so wirklich:

"Weiterhin gilt für jedes normierte Polynom (Koeffizient 1 vor dem Term höchsten Grades), dass jede Nullstelle den konstanten Term teilt."

Korrekt heißt es: jede ganzzahlige Nullstelle ist Teiler des konstanten Terms.
Jörg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Korrekt heißt es: jede ganzzahlige Nullstelle ist Teiler des konstanten Terms.


Und was ist der konstante Term?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe hier:

Zitat:
Original von Leopold
Das konstante Glied ist danach 1785.
Jörg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön Freude
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »