Eulersche Zahl beweisen

04.12.2017, 16:41

Snexx_Math

Eulersche Zahl beweisen

Hallo zusammen Folgendes:

Als Vorraussetzung habe ich :

i) Es gilt : $\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n})^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{n^{k}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

iii)
Es gilt: $\begin{eqnarray*} 1- \frac{j}{n} \leq 1- \frac{j}{n+1} \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} 0 \leq j \leq n-1 \end{eqnarray*}$

Nun folgende Aufgabe an der ich scheiter:

Benutzten Sie (i) und (iii) um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (1 + (\frac{1}{n})^{n})_{n\geq1} \end{eqnarray*}$ monoton ist.

Stehe vor einem Rätsel , benötige somit dringend Hilfe !

Danke im voraus smile

LG

Snexx_Math

04.12.2017, 18:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Benutzten Sie (i) und (iii) um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (1 + (\frac{1}{n})^{n})_{n\geq1} \end{eqnarray*}$ monoton ist.

Ja, sie ist monoton, und zwar streng monoton fallend. Aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass du diese Folge gar nicht meinst... sondern stattdessen $\begin{align*} \left( \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)_{n\geq 1} \end{align*}$ ? verwirrt

04.12.2017, 18:58

Snexx_Math

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Oh man. Man merkt, dass 8 Stunden voller Mathe hinter mir liegen.

Entschuldigung unglücklich

Natürlich meine ich stattdessen $\begin{eqnarray*} \Bigg( \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n}\Bigg)_{n\geq1} \end{eqnarray*}$

05.12.2017, 18:51

Snexx_Math

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@ HAL 9000

So heute etwas frischer im Kopf.

Meinst du, du könntest mir zu der jetzt richtigen Formel nochmal weiterhelfen ?

smile

05.12.2017, 20:33

HAL 9000

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An sich bin ich derselben Meinung wie Matt Eagle: Dass man die Monotonie auch wesentlich einfacher haben kann durch Einsatz der Bernoulli-Ungleichung.

05.12.2017, 21:16

Snexx_Math

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Ok dann probier ich es mal damit danke smile

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