Fast nirgends konvergente Folge

04.12.2017, 17:23

daLoisl

Fast nirgends konvergente Folge

Hallo,
heute brauche ich wieder eure Hilfe.
Gegeben ist die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} h_j : [0,1] \to \mathbb R, t \mapsto \sin (2 \pi 2^j t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Nun soll ich zeigen, dass für fast alle $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und jede streng monotone Folge $\begin{eqnarray*} (j_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} h_{j_n}(t) > \liminf_{n \to \infty} h_{j_n}(t) \end{eqnarray*}$ .

Offenbar gilt die Aussage für die dyadischen Zahlen nicht. Aber wie kann ich zeigen, dass sie für alle anderen Zahlen gilt?

Liebe Grüße
daLoisl

10.12.2017, 18:07

daLoisl

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RE: Fast nirgends konvergente Folge
Okay, falls das noch jemanden interessiert:
Man kann die gegebenen Funktionen als Zufallsvariablen am Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} ([0,1],\mathcal B, \lambda) \end{eqnarray*}$ auffassen und mit dem 2. Teil des Borel-Cantelli-Lemmas zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray*} A := \{t \in [0,1] | h_{j_n}(t) \ge \frac{1}{\sqrt 2} \mbox{ f\"ur unendlich viele } n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ Maß $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ hat. Analog zeigt man dasselbe für die Menge $\begin{eqnarray*} B := \{t \in [0,1] | h_{j_n}(t) \le -\frac{1}{\sqrt 2} \mbox{ f\"ur unendlich viele } n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ . Dann hat die Menge $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ die gewünschte Eigenschaft.

10.12.2017, 18:19

IfindU

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RE: Fast nirgends konvergente Folge

Zitat:

Original von daLoisl
für fast alle $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und jede streng monotone Folge $\begin{eqnarray*} (j_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} h_{j_n}(t) > \liminf_{n \to \infty} h_{j_n}(t) \end{eqnarray*}$ .

Hier muss man vorsichtig bei der Formulierung sein. So darf die Folge $\begin{eqnarray*} (j_n) \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängen. Für jedes $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ existiert eine streng monotone Folge $\begin{eqnarray*} (j_n) \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} h_{j_n}(t) = \liminf_{n \to \infty} h_{j_n}(t) \end{eqnarray*}$ .
D.h. man wählt erst einmal eine Folge, und dann kann man eine Nullmenge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ wählen, an dem die strikte Ungleichung für alle Elemente $\begin{eqnarray*} t\not\in N \end{eqnarray*}$ gilt.

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