Lineare Unabhängigkeit

04.12.2017, 19:55

\int

Lineare Unabhängigkeit

Meine Frage:
Hallo Liebe Mathematiker,
ich habe eine ziemlich einfache und schnelle frage, jedoch möchte ich sicher gehen, da dies ein Teil einer mündlichen Prüfung ausmacht.

Überprüfe oder widerlege folgende Statements:
Sei $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,...,v_k \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \in M_{m \times n} \end{eqnarray*}$
a) Wenn $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,...,v_k \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ linear Unabhängig dann ist auch $\begin{eqnarray*} Av_1,Av_2,...,Av_k \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig

b) Wenn $\begin{eqnarray*} Av_1,Av_2,...,Av_k \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig dann ist auch $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,...,v_k \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Meine Ideen:
Ich habe jetzt angenommen das in beiden fällen $\begin{eqnarray*} n,m > 1 \end{eqnarray*}$ Da ich in b)zum beispiel sonst zwei skalare habe und diese wären trivialer weise abhängig.

Bei a) habe ich ein Gegenbeispiel. Das passt auch alles.
Bei b) habe ich versucht das über einen Induktionsbeweis zu machen

Für den Induktionsanfang sei n = m = 2
Sei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Dann gilt ja nach multiplikation:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 + a_2 b_2 \\ a_3 b_1 + a_4 b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Damit lineare Abhängigkeit gilt muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 b_1 + a_2 b_2 \\ a_3 b_1 + a_4 b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b'_1 + a_2 b'_2 \\ a_3 b'_1 + a_4 b'_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dies gilt nur für linear abhängige Vektoren.
Dies würde ich dann noch auf n = N+1 und m = N' +1 ausweiten. Natürlich mit Beachtung der Möglichkeit Matrix und Vektor zu multiplizieren.

Aber ich wollte erstmal wissen ob das ok ist.

Ich hoffe mir kann jemand helfen und bedanke mich schoneinmal vielmals smile

Eine schönen Abend noch

04.12.2017, 20:04

IfindU

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Ich verstehe den Beweis für b) nicht wirklich.

Ich würde die äquivalente Aussage:
Sind $\begin{eqnarray*} v_1, \ldots, v_k \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ linear abhängig, so sind auch $\begin{eqnarray*} Av_1, \ldots,A v_k \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ linear abhängig.

D.h. es ist eine nicht-trivale Linearkombination $\begin{eqnarray*} \lambda_ 1 A v_1 + \ldots + \lambda_k A v_k = 0 \end{eqnarray*}$ zu finden. Und die bekommt man durch die Linearität von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und der linearen Abhängigkeit von den $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ sofort.

05.12.2017, 00:48

ing

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Ich verstehe es auch nicht mehr.
Nein ich hatte einen Denkfehler bei meinem Beweis gehabt.

Also du meinst, das:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lambda_1 A v_1 + ... + \lambda_k A v_k = 0 <br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \,\, A(\lambda_1 v_2 + ... + \lambda_k v_k) = 0 <br /> \end{eqnarray*}$
und das heißt.
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_2 + ... + \lambda_k v_k= 0 <br /> \end{eqnarray*}$
und das ist ja dann unsere linear abhängigkeit. Wie habe ich dann gezeigt das es ein Widerspruch ist?

05.12.2017, 08:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von ing
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 A v_1 + ... + \lambda_k A v_k = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \,\, A(\lambda_1 v_2 + ... + \lambda_k v_k) = 0 \end{eqnarray*}$
und das heißt.
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_2 + ... + \lambda_k v_k= 0 \end{eqnarray*}$

Da verwechselst du Voraussetzung und zu zeigende Behauptung. Zu zeigen ist dies:

Wenn es ein i gibt mit 1 <= i <= k und $\begin{eqnarray*} \lambda_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_k v_k= 0 \end{eqnarray*}$ (v_1, ..., v_k sind also linear abhängig), dann gibt es ein j mit 1 <= j <= k und $\begin{eqnarray*} \lambda_j \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so daß $\begin{eqnarray*} \lambda_1 A v_1 + ... + \lambda_k A v_k = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Unter Nutzung der Linearität von A ist das leicht zu zeigen. smile

Ich schieb das mal in den Hochschulbereich.

05.12.2017, 19:02

\int

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Achso, ja dann habe ich ja gezeigt das sie linear abhängig sind und damit die Behauptung von IfundU bewiesen und somit auch die Behauptung der Aufgabenstellung.

Mir war die Beweisführung der äquivalenten Aussage abhanden gekommen.

Vielen Dank smile

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