Urbilder stetiger Funktionen

05.12.2017, 15:08	nrloop	Auf diesen Beitrag antworten »
Urbilder stetiger Funktionen Guten Tag! Ich muss für eine Aufgabe zeigen, dass für eine stetige Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt: a) Für jede offene Menge $\begin{eqnarray} O \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ ist auch die Menge $\begin{eqnarray} f^{-1}(O) \end{eqnarray}$ offen. b) Für jede abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray} A \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ ist auch die Menge $\begin{eqnarray} f^{-1}(A) \end{eqnarray}$ abgeschlossen. Meine Idee: a: Sei O eine offene Menge in R. Da f stetig ist, $\begin{eqnarray} f(O) \end{eqnarray}$ ist wohldefiniert und für alle Epsilon es gibt ein Delta, indem die Umgebung von Epsilon noch in O liegt (für Epsilons, die natürlich klein genüg und nicht größer als die ganze Menge O sind. Sei $\begin{eqnarray} f^{-1}(O) \end{eqnarray}$ nicht offen. Das impliziert, dass auf einer Stelle in $\begin{eqnarray} f^{-1}(O) \end{eqnarray}$ es gibt ein Epsilon, indem die Umgebung nicht in $\begin{eqnarray} f^{-1}(O) \end{eqnarray}$ ist. Aber das ist ein Widerspruch zu der Stetigkeit von f. Somit ist $\begin{eqnarray} f^{-1}(O) \end{eqnarray}$ offen. b: Sei die menge A abgeschlossen. Das impliziert, dass alle Häufungspunkte von A in A liegen. Sei y ein Häufungspunkt von A aber $\begin{eqnarray} y \in A \end{eqnarray}$ . Das impliziert, dass im Urbild von A gibt es ein x in $\begin{eqnarray} f^{-1}(A) \end{eqnarray}$ , wobei x nicht neben andere x', die in A liegen. Aber das ist ein Widerspruch zu der Stetigkeit von f. Mit Teil b bin ich mir nicht sicher, wie ich das gut formulieren soll. Es würde mich freuen, wenn ihr mir mit den Aufgaben helfen könntet.

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