Stetige Funktion auf ganz R

05.12.2017, 15:17

lara456

Stetige Funktion auf ganz R

Hallo,

es geht um Stetigkeit auf ganz R:

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ derart (explizit), dass die Funktion $\begin{eqnarray*} h_c : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x= \begin{cases} \frac{e^x-1}{x}, \ x \neq0,\\ c, \ x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$ auf ganz R stetig ist.

Kann jemand bitte mit mir die Aufgabe zusammenarbeiten oder mir Tipps geben?

Danke im Voraus!

05.12.2017, 16:20

005

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RE: Stetige Funktion auf ganz R
Grenzwertkriterium: $\begin{eqnarray*} h_c \end{eqnarray*}$ ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\xi}h_c(x)=h_c(\xi) \end{eqnarray*}$ fuer alle $\begin{eqnarray*} \xi\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt. Fuer jedes $\begin{eqnarray*} \xi\ne0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} h_c(x) \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ durch einen in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stetigen Ausdruck gegeben, der nicht mal von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ abhaengt. Was folgt daraus? Was ist mit $\begin{eqnarray*} \xi=0 \end{eqnarray*}$ ?

05.12.2017, 19:15

lara456

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RE: Stetige Funktion auf ganz R
Hallo,

es folgt, dass $\begin{eqnarray*} \xi\ \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \frac{e^x-1}{x} \end{eqnarray*}$ ist? Ich habe wirklich keine Ahnung traurig

06.12.2017, 02:57

005

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RE: Stetige Funktion auf ganz R
Ueberhaupt keine Ahnung ist wirklich sehr wenig Ahnung. Was koennte ich da jetzt noch Sinnvolles zum Thema sagen?

$\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Stelle, an der auf Stetigkeit untersucht werden soll. Die ist beliebig vorgelegt, ueber die kann man gar nichts sagen. Ueber den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} h_c(x) \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} x\to\xi \end{eqnarray*}$ sollte man was sagen koennen. Und damit $\begin{eqnarray*} h_c \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ stetig ist, muss er gleich $\begin{eqnarray*} h_c(\xi) \end{eqnarray*}$ sein.

06.12.2017, 08:39

Matt Eagle

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RE: Stetige Funktion auf ganz R
Ich übersetze die Aufgabenstellung mal.

Berechne folgenden Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}x. \end{eqnarray*}$

Dieser Grenzwert ist dann das gesuchte $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ durch das die Funktion $\begin{eqnarray*} h_c \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ stetig ergänzt wird.

Anhand der Reihendarstellung der Exponentialfunktion lässt sich der gesuchte Grenzwert übrigens direkt ablesen.

06.12.2017, 11:16

lara456

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Ok hier ist was ich jetzt habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x-1}{x}=\frac{1}{x}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k-1}}{k!} = 1 + \sum\limits_{k=2}^{\infty} \frac{x^{k-1}}{k!} = 1 + \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{(k+2)!} = 1 + x*\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{(k+2)!} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} 1 + \lim_{x \to 0} x*\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{(k+2)!} \end{eqnarray*}$

Meine Frage jetzt ist: wie kann ich den Grenzwert für die Potenzreihe finden wenn x nach 0 geht? Es konvergiert überall (weil R gleich unendlich ist) aber wie kann ich den Grenzwert finden wenn x nach 0 geht?

06.12.2017, 11:26

klarsoweit

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Wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} s(x) := \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{(k+2)!} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} s(x) = s(0) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

06.12.2017, 11:52

lara456

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Ah.. ok. Muss man $\begin{eqnarray*} s(0) \end{eqnarray*}$ aus rechnen? Eher nicht weil, wir wissen das es existiert und dann das Limit von x*s(0) ist trotzdem null. Ist das richtig?

06.12.2017, 12:21

Matt Eagle

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Du hast doch:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x-1}x=\sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!}=1+\frac x2+\frac {x^2}6+\frac{x^3}{24}+\ldots \end{eqnarray*}$

Offenbar verschwinden für x=0 alle Summanden der Reihe abgesehen vom Ersten.
Damit ist doch schon alles klar.

06.12.2017, 14:12

lara456

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Ach ja danke jetzt ist es erledigt. Ich danke Euch für die Hilfe!

06.12.2017, 14:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von lara456
und dann das Limit von x*s(0) ist trotzdem null. Ist das richtig?

Der Limes von x * s(x) für x gegen Null ist 0 * s(0). Es reicht zu wissen, daß s(0) existiert. smile

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