Dirac-Maß und Integrale

05.12.2017, 20:39

Nina1818

Dirac-Maß und Integrale

Auf ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R , \mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ sei das Dirac-Maß $\begin{eqnarray*} \delta_{a},a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , gegeben. Berechne

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{10} \! \frac{1}{x^{2} + x+2 } \, d \delta (x) \end{eqnarray*}$

Wie geht man an eine solche Aufgabe ran? Einfach drauf los integrieren?

05.12.2017, 21:09

HAL 9000

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Und "ohne" Index bedeutet $\begin{eqnarray*} \delta=\delta_0 \end{eqnarray*}$ , oder?

Da 0 nicht im Integrationsbereich deiner Funktion liegt, ist der Integralwert 0.

P.S.: Bestimmte Integrale über diskrete Maße sollte man genauer angeben - was soll z.B. $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \dd \delta(x) \end{eqnarray*}$ bedeuten?

a) $\begin{eqnarray*} \int\limits_{(0,1)} \dd \delta(x) = 0 \end{eqnarray*}$

oder

b) $\begin{eqnarray*} \int\limits_{[0,1]} \dd \delta(x) = 1 \end{eqnarray*}$

oder vielleicht auch ein halboffenes Intervall? verwirrt

09.12.2017, 13:14

Nina1818

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NMun ja, mehr Infos waren bei der Aufgabe nicht dabei. Steckt vielleicht unter "Dirac-Maß" eine bestimmte Zusatzinfo die beim lösen der Aufgabe hilft?

Als Lösung wurde nun folgendes angegeben:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{10} \! \frac{1}{x^{2} + x+2 } \, d \delta _{a} (x) = \begin{cases}\frac{1}{x^{2} + x+2 } & \;\mbox{für}\; a \in \left[1,10\right]\\0 & \;\mbox{sonst}\; \end{cases} \end{eqnarray*}$

Warum 1/ (a^2+a+2)? wie berechne ich das? verwirrt

09.12.2017, 14:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nina1818
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{10} \! \frac{1}{x^{2} + x+2 } \, d \delta _{{\color{red}a}} (x) = \begin{cases}\frac{1}{x^{2} + x+2 } & \;\mbox{für}\; a \in \left[1,10\right]\\0 & \;\mbox{sonst}\; \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und oben hattest du geschrieben:

Zitat:

Original von Nina1818
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{10} \! \frac{1}{x^{2} + x+2 } \, d \delta (x) \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ OHNE Index! Forum Kloppe

Zitat:

Original von Nina1818
Warum 1/ (a^2+a+2)? wie berechne ich das verwirrt

Definition Dirac-Maß!

09.12.2017, 21:52

Nina1818

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Keine Ahnung.

Bei Wikipedia steht

Es sei ein messbarer Raum (Omega, A) gegeben, zu jedem Punkt z aus Omega wird eine zugehörige Abbildung Delta_z definiert, die jeder Menge A aus A den Wert 1 zuordnet wenn sie z enthält und den wert 0 wenn sie z nicht enthält

Unter Dirac integral f: A -> R konnte ich finden

$\begin{eqnarray*} \int_{A} \! fd\delta_{z}= \begin{cases} f(z) & \;\; z \in A\\0 & \;z \notin A\; \end{cases} \end{eqnarray*}$

Kann ich hier tatsächlich stupide einsetzen und fertig? Oder gehört da mehr dazu

23.01.2018, 17:36

Nina1818

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Hallo zusammen,

ist die Lösung dieses Einsetzen in die Def (aus Wikipedia) wikipedia.org/wiki/Diracmaß?

also

$\begin{eqnarray*} \int_{A} \! f(d) \, \delta_{z} = \begin{cases} f(z) \ \ z \in A \\0 \ \ z\notin A \end{cases} \end{eqnarray*}$

und daher einfach eingesetzt das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{10} \! \frac{1}{x^{2}+x+2 } \, d\delta_{a}(x) = \begin{cases} \frac{1}{a^{2}+a+2 } \ \ a \in [1,10] \\0 \ \ \textrm{sonst} \end{eqnarray*}$

23.01.2018, 17:46

Nina1818

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Formeldarstellungsfehler im Code oben, ich probiere es erneut:

Zitat:

Original von Nina1818
Hallo zusammen,

ist die Lösung dieses Einsetzen in die Def (aus Wikipedia) wikipedia.org/wiki/Diracmaß?

also

$\begin{eqnarray*} \int_{A} \! f(d) \, \delta_{z} = \begin{cases} f(z) \ \ z \in A \\0 \ \ z\notin A \end{cases} \end{eqnarray*}$

und daher einfach eingesetzt das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{10} \! \frac{1}{x^{2}+x+2 } \, d\delta_{a}(x) = \begin{cases} \frac{1}{a^{2}+a+2 } \ \ a \in [1,10] \\0 \ \ \textrm{sonst}<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

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