Bézier Darstellung kubischer Polynome

05.12.2017, 20:52	donky	Auf diesen Beitrag antworten »
Bézier Darstellung kubischer Polynome Meine Frage: Hallo und einen schönen Abend, Ich möchte zeigen, dass jedes kubische Polynom eine eindeutige Bézier Darstellung hat. Meine Ideen: Ich dachte mir ich nehme ein allgemeines kubisches Polynom $\begin{eqnarray} f(x) = ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray}$ Und dazu die Bézier Darstellung $\begin{eqnarray} f(x) = b_0(1-x)^3+ 3b_1(1-x)^2 x+3b_2 (1-x)x^2 + b_3 x^3 \end{eqnarray}$ Löse Diese auf und mache einen Quotientenvergleich.. Allerdings hat mich das von da an nicht mehr weitergebracht.. Deshalb hoffe ich auf Hilfe Vielen Dank im Voraus
05.12.2017, 22:46	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo donky, benutz doch ein wenig Lineare Algebra: Die Polynome kleinergleich dritten Grades bilden einen vierdimensionalen Vektorraum. Du hast also bereits gewonnen, wenn du zeigen kannst, dass die vier Bernsteinpolynome (also "Bezier-Basispolynome") linear unabhängig sind. Bei Dimension 4 könnte man das noch durch einfaches Nachrechnen machen (also alle Bezier-Basispolynome in Monomdarstellung schreiben, eine Linearkombination davon gleich Null setzen, dann Matrix und Gauß). Evtl. könnte man auch versuchen, etwas trickreicher vorzugehen wie etwa zu benutzen, dass $\begin{eqnarray} x^3 + 3x^2(1-x) +3x(1-x)^2 + (1-x)^3 = (x+1-x)^3 = 1 \end{eqnarray}$ , oder allgemeine Basiswechselmatrizen von Monom- zu Beziér-Basis zu finden und festzustellen, dass diese invertierbar sind (also ihren Namen verdienen), oder so etwas. LG sibelius84

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