Bézier Darstellung kubischer Polynome

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donky Auf diesen Beitrag antworten »
Bézier Darstellung kubischer Polynome
Meine Frage:
Hallo und einen schönen Abend,
Ich möchte zeigen, dass jedes kubische Polynom eine eindeutige Bézier Darstellung hat.

Meine Ideen:
Ich dachte mir ich nehme ein allgemeines kubisches Polynom


Und dazu die Bézier Darstellung


Löse Diese auf und mache einen Quotientenvergleich.. Allerdings hat mich das von da an nicht mehr weitergebracht.. Deshalb hoffe ich auf Hilfe smile

Vielen Dank im Voraus smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo donky,

benutz doch ein wenig Lineare Algebra:
Die Polynome kleinergleich dritten Grades bilden einen vierdimensionalen Vektorraum. Du hast also bereits gewonnen, wenn du zeigen kannst, dass die vier Bernsteinpolynome (also "Bezier-Basispolynome") linear unabhängig sind.

Bei Dimension 4 könnte man das noch durch einfaches Nachrechnen machen (also alle Bezier-Basispolynome in Monomdarstellung schreiben, eine Linearkombination davon gleich Null setzen, dann Matrix und Gauß). Evtl. könnte man auch versuchen, etwas trickreicher vorzugehen wie etwa zu benutzen, dass
, oder allgemeine Basiswechselmatrizen von Monom- zu Beziér-Basis zu finden und festzustellen, dass diese invertierbar sind (also ihren Namen verdienen), oder so etwas.

LG
sibelius84
 
 
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