Mengenbeziehungen

06.12.2017, 07:48	Chris3000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenbeziehungen Ich habe drei Unterräume F,G,H eines Vektorraums V gegeben. Gelten folgende Gleichungen: 1.) $\begin{eqnarray} F \cap (G+H)= (F \cap G) + ( F \cap H) \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} F + (G\cap H)=(F + G) \cap ( F + H) \end{eqnarray}$ Die 1. gilt nicht, denn Sei $\begin{eqnarray} V= \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} G=(x,0) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} H=(0,y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F=(z,z)<br /> \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} G+H= \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F \cap (G+H) = (z,z) \end{eqnarray}$ Jedoch $\begin{eqnarray} (F \cap G) + ( F \cap H) =(0.0) \end{eqnarray}$ Stimmt das? Kann mirjmd bei 2. helfen?
06.12.2017, 12:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) Das Gegenbeispiel ist im Ansatz richtig. Du musst aber Mengen schreiben und nicht unbestimmte Vektoren. Also etwa $\begin{eqnarray} G=\{(x,0):x\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} G=(x,0) \end{eqnarray}$ . 2.) Versuche den Beweis über die Definition der Summe zu führen: $\begin{eqnarray} X+Y=\bigcap_{U\le V}X\subseteq U\cap Y\subseteq U \end{eqnarray}$

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