Erzeugendensysteme und Untervektorräume

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Nutellafreak Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensysteme und Untervektorräume
Ich habe einige Aufgaben zu Lösen und bräuchte bei ein paar der Aufgaben noch Erklärungen bzw. Hinweise. Die Aufgaben und meine bisherigen Lösungen werde ich als PDF-Datei in den Anhang legen.

Meine weiteren Überlegungen zu den Aufgaben sind:

Zu bi)

wir haben , wobei auch als geschrieben werden kann. Somit soll gezeigt werden das eine Matrix eine Teilmenge von sich selbst ist und diese einen Vektorraum bildet. Also das eine Menge immer eine Teilmenge von sich selbst ist ist klar aber jetzt noch zeigen das es die Axiome erfüllt.
Für Axiom 1 soll gezeigt werden, dass sie nicht leer ist also kann ich doch zeigen wenn also der Nullvektor ist oder nicht?
Dann kann ich auch zwei Matrizen addieren, so dass zudem kann ich auch eine Matrix x mit einem Skalar z multiplizieren, so dass .

Zu bii) und biv)

bin ich verwirrt weil wir in der vorlesung gesagt haben ist das Element der Matrix an in der i-ten-Zeile und der j-ten-Spalte und nun verstehe ich nicht was mit i>j gemeint ist ( wir haben immer die Einheitsmatrix betrachtet und bei uns)





Zu biii)


nehme ich mal an das A und B einzelne Elemente der Matrix sind und . Wenn AB=0 dann A=0 oder B=0 d.h. mind ein Element der Matrix ist 0 daraus folgt sie ist nicht leer. Die Matrix könnte also so aussehen




d.h. wenn ich die matrix mit einem skalar multiplizieren, dann ist












Zur Aufgabe 3 habe ich bis jetzt nur die Überlegung:

Also ich weiß das es ein endliche erzeugter KVR ist wenn er von endlich vielen Vektoren erzeugt wird. aber wie man das zeigt, soweit bin ich noch nicht.

Zur Aufgabe 4:

Hier weiß ich trotz der Vorlesung immer noch nicht was genau der Span ist. Und ich weiß nicht was ich hier genau über die Kontraposition beweisen soll. A scheint hier eine Spalte von der Matrix zu sein jedoch weiß ich nicht was das mit b zu tun hat (vielleicht Ax=b ?). Die Lösungsmenge ist leer wenn der Rang(A) Rang(A|b) ist also der Rang der Matrix Rang der erweiterten Matrix.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist zu viel auf einmal. Es ist unwahrscheinlich, dass jemand für dich ein ganzes Übungsblatt lösen möchte. Poste einzelne Aufgaben zusammen mit etwas mehr Lösungsansätzen und Ideen, dann habe ich auch mehr Lust zu helfen. Die Zeit (bis übermorgen) reicht vermutlich nicht, um deine Wissenslücken zu schließen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensysteme und Untervektorräume
Zitat:
Original von Nutellafreak
Zu bi)

wir haben , wobei auch als geschrieben werden kann. Somit soll gezeigt werden das eine Matrix eine Teilmenge von sich selbst ist und diese einen Vektorraum bildet.

Du mußt bei dir sehr auf das Wording achten. Eine Matrix ist keine Menge oder Teilmenge, sondern allenfalls ein Element einer Menge. Vielleicht ist es bei dir irgendwo untergegangen, aber ist die Menge aller invertierbaren nxn-Matrizen. Das ist nicht dasselbe wie . Natürlich ist die Menge aller invertierbaren nxn-Matrizen eine Teilmenge aller nxn-Matrizen, aber das soll hier auch nicht gezeigt werden, weil es eh evident ist. Hier soll geprüft werden, ob die Menge aller invertierbaren nxn-Matrizen ein Unterraum ist. Daß diese Menge nicht leer ist, ist klar, denn es gibt ja invertierbare Matrizen (siehe Einheitsmatrix). Aber was ist mit den anderen Bedingungen?

Zitat:
Original von Nutellafreak
Zu bii) und biv)

bin ich verwirrt weil wir in der vorlesung gesagt haben ist das Element der Matrix an in der i-ten-Zeile und der j-ten-Spalte und nun verstehe ich nicht was mit i>j gemeint ist ( wir haben immer die Einheitsmatrix betrachtet und bei uns)

Nun ja, beispielsweise hat eine 3x3-Matrix die Form .

Jetzt schau mal, wo die Elemente sind, wo i > j ist. Für diese Elemente kannst du ersatzweise eine Null schreiben. smile

Zitat:
Original von Nutellafreak
Zu biii)

nehme ich mal an das A und B einzelne Elemente der Matrix sind und . Wenn AB=0 dann A=0 oder B=0 d.h. mind ein Element der Matrix ist 0 daraus folgt sie ist nicht leer.

Leider ist die Aufgabe nicht klar formuliert. Bedeutet "für ", daß gemeint ist "für ein beliebiges, aber festes " oder "für alle "?

Nehmen wir mal ersteres (was auch die Bezeichnung - also eine von B abhängige Menge von Matrizen - nahe legt) und als Beispiel die Matrizen und und bilde nun mal das Produkt A*B. Merkst du was?
Nutellafreak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensysteme und Untervektorräume
Zitat:
Original von klarsoweit


Natürlich ist die Menge aller invertierbaren nxn-Matrizen eine Teilmenge aller nxn-Matrizen, aber das soll hier auch nicht gezeigt werden, weil es eh evident ist. Hier soll geprüft werden, ob die Menge aller invertierbaren nxn-Matrizen ein Unterraum ist. Daß diese Menge nicht leer ist, ist klar, denn es gibt ja invertierbare Matrizen (siehe Einheitsmatrix). Aber was ist mit den anderen Bedingungen?


Wenn die Menge aller invertierbaren nxn-Matrizen eine Teilmenge aller nxn-Matrizen ist, besitzt die Menge aller invertierbaren nxn-Matrizen nicht die gleichen Eigenschaften wie die Menge von der sie Teilmenge sind d.h. sie sind Abgeschlossen in der Addition und der Skalarmultiplikation. Falls das nciht stimmen sollte muss ich nur zeigen das dann und und dann (U ist hier die Menge aller invertierbaren Matrizen)

Zitat:
Original von klarsoweit
Nun ja, beispielsweise hat eine 3x3-Matrix die Form .

Jetzt schau mal, wo die Elemente sind, wo i > j ist. Für diese Elemente kannst du ersatzweise eine Null schreiben. smile


Wenn ich mir das Anschaue kommt mir der Gedanke Einheitsmatrix, wo in der Diagonalen eine 1 steht ( wo i=j) und oberhalb bzw unterhalb nur nullen. Als zweiter Gedanke kam mir dann die reduzierte Zeilenstufen Form, da wir unter jeder 1 die am Zeilenanfang steht, die immer um mindestens eine Spalte in der nächsten Zeile versetzt ist, mehrere Nullen zu stehen haben.
Dann würde ich sagen, dass die Matrix bei bii) jede Matrix der die in reduzierter Zeilenstufenform vorliegt.
Bei biv) geht es ja um wobei . Wenn ich wieder die 3x3-Matrix betrache bezeichnet das die Summe der Diagonalen und diese Elemente sind z.b. in der Einheitsmatrix 1. Sogesehen ist das einfach nur die Addition von Elementen der wobei also beschreibt das doch das Axiom 2 für einen Untervektorraum. Der Untervektorraum kann nicht leer sein, da es keine Summe einer Leerenmenge gibt so muss ich nur zeigen das , so dass wobei

Zitat:
Original von klarsoweit


Leider ist die Aufgabe nicht klar formuliert. Bedeutet "für ", daß gemeint ist "für ein beliebiges, aber festes " oder "für alle "?

Nehmen wir mal ersteres (was auch die Bezeichnung - also eine von B abhängige Menge von Matrizen - nahe legt) und als Beispiel die Matrizen und und bilde nun mal das Produkt A*B. Merkst du was?


Es würde die Nullmatrix herrauskommen also
Nutellafreak Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Das ist zu viel auf einmal. Es ist unwahrscheinlich, dass jemand für dich ein ganzes Übungsblatt lösen möchte. Poste einzelne Aufgaben zusammen mit etwas mehr Lösungsansätzen und Ideen, dann habe ich auch mehr Lust zu helfen. Die Zeit (bis übermorgen) reicht vermutlich nicht, um deine Wissenslücken zu schließen.


Du musst kein Übungsblatt lösen oder derartiges. Es würde mir helfen wenn du mir zu einer der Aufgaben ein Beispiel nennen kannst oder mir vielleicht etwas Erklärst das man es besser versteht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 1a) Du hast nicht bewiesen, dass ein Untervektorraum von ist für alle . Es ist im allgemeinen falsch. Du hast es für behauptet aber nicht bewiesen.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensysteme und Untervektorräume
Zitat:
Original von Nutellafreak
Wenn die Menge aller invertierbaren nxn-Matrizen eine Teilmenge aller nxn-Matrizen ist, besitzt die Menge aller invertierbaren nxn-Matrizen nicht die gleichen Eigenschaften wie die Menge von der sie Teilmenge sind d.h. sie sind Abgeschlossen in der Addition und der Skalarmultiplikation.

Genau das ist zu untersuchen. Automatisch ist das nicht der Fall.

Zitat:
Original von Nutellafreak
Wenn ich mir das Anschaue kommt mir der Gedanke Einheitsmatrix, wo in der Diagonalen eine 1 steht ( wo i=j) und oberhalb bzw unterhalb nur nullen. Als zweiter Gedanke kam mir dann die reduzierte Zeilenstufen Form, da wir unter jeder 1 die am Zeilenanfang steht, die immer um mindestens eine Spalte in der nächsten Zeile versetzt ist, mehrere Nullen zu stehen haben.
Dann würde ich sagen, dass die Matrix bei bii) jede Matrix der die in reduzierter Zeilenstufenform vorliegt.

Du mußt bei der Aufgabe nicht untersuchen, wie solche Matrizen aussehen und welche (speziellen) Eigenschaften sie haben. Du mußt prüfen, ob die Menge der Matrizen mit der beschriebenen Eigenschaft ( für i > j) ein Unterraum ist.

Zitat:
Original von Nutellafreak
Bei biv) geht es ja um wobei . Wenn ich wieder die 3x3-Matrix betrache bezeichnet das die Summe der Diagonalen und diese Elemente sind z.b. in der Einheitsmatrix 1. Sogesehen ist das einfach nur die Addition von Elementen der wobei also beschreibt das doch das Axiom 2 für einen Untervektorraum.

Ganz ehrlich: ich verstehe nicht, was du da sagen willst. Was hat jetzt die Addition von Diagonalelemeneten einer Matrix mit dem 2. Axiom für einen Untervektorraum zu tun?
Auch hier gilt (wie oben): Du mußt bei der Aufgabe nicht untersuchen, wie solche Matrizen aussehen und welche (speziellen) Eigenschaften sie haben. Du mußt prüfen, ob die Menge der Matrizen mit der beschriebenen Eigenschaft () ein Unterraum ist.

Zitat:
Original von Nutellafreak
Es würde die Nullmatrix herrauskommen also

Aha. Und wenn du mal oben in deinen Text schaust, hattest du gefolgert, daß aus A*B = 0 gelten muß, daß A=0 oder B=0 ist. geschockt

Aber auch bei dieser Aufgabe kann ich nur wiederholen: Du mußt bei der Aufgabe nicht untersuchen, wie solche Matrizen aussehen und welche (speziellen) Eigenschaften sie haben. Du mußt prüfen, ob die Menge der Matrizen A mit der beschriebenen Eigenschaft (A*B=0) ein Unterraum ist.

Generell scheinst du große Schwierigkeiten zu haben, auf rein formale Weise an diese Aufgaben heranzugehen. Dabei geht es lediglich darum, für bestimmte Mengen die Unterraumeigenschaft nachzuweisen oder auch zu widerlegen. Das ist jetzt vom Schwierigkeitsgrad eher noch relativ niedrig.
Nutellafreak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensysteme und Untervektorräume
Zitat:
Original von Elvis
Aufgabe 1a) Du hast nicht bewiesen, dass ein Untervektorraum von ist für alle . Es ist im allgemeinen falsch. Du hast es für behauptet aber nicht bewiesen.


Aber wenn dann kann es kein UVR sein, da der Punkt (x,y)=(0,0) nicht auf der Geraden liegt und damit ist das Axiom 1 nicht erfüllt. (0,0) ist hier der "Nullvektor" und bei Axiom 1 muss man doch zeigen, dass die Menge nicht leer ist oder der Nullvekotr bzw. die Nullmatrix ein Element ist.

(ax+by=c beschreibt eine Gerade, bzw die Menge der Punkte ,(x,y) die auf ihr liegen.)















Zitat:
Original von klarsoweit

Generell scheinst du große Schwierigkeiten zu haben, auf rein formale Weise an diese Aufgaben heranzugehen. Dabei geht es lediglich darum, für bestimmte Mengen die Unterraumeigenschaft nachzuweisen oder auch zu widerlegen. Das ist jetzt vom Schwierigkeitsgrad eher noch relativ niedrig.


Ja ich habe auch keine Ahnung was mit mir los ist. Am Anfang ging es noch gut mit dem Lösen der Aufgaben aber langsam blicke ich nicht mehr durch.

Eine Frage. Wenn wir von der Menge der invertierbaren Matrizen reden, sind dann in der Menge die inversen der Matrizen auch enthalten? Ist die Leere Menge invertierbar? Denn wenn die Menge nur die Leere Menge besitzt ist doch sogesehen die Leere Menge auch das inverse oder nicht?

Weil dann könnte ich mir das erstmal einfacher Vorstellen mit dem Beispielt das wir eine Menge besitzen in denen es Elemente gibt die aus und welche die aus stammen. Und dann würden wir die Elemente betrachten die aus stammen und müssten dafür die Axiome abarbeiten.

Ich kenne die Axiome aber ich habe keine Ahnung wie ein Beweis aussehen soll.
Könntest du mir vielleicht ein Beispiel für einen Beweis geben? Also wie man ihn aufschreibt.

Danke für die Hilfe aber seit ein paar Vorlesungen stehe ich mit den Beweisen schon auf dem Schlauch. Auch wenn es einfach sein sollte ist es für mich echt schwer. Wahrscheinlich ist das Mathestudium auch nichts für mich.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensysteme und Untervektorräume
Zitat:
Original von Nutellafreak
Aber wenn dann kann es kein UVR sein, da der Punkt (x,y)=(0,0) nicht auf der Geraden liegt und damit ist das Axiom 1 nicht erfüllt. (0,0) ist hier der "Nullvektor" und bei Axiom 1 muss man doch zeigen, dass die Menge nicht leer ist oder der Nullvekotr bzw. die Nullmatrix ein Element ist.

Soweit ok. Dann bleibt noch die Untersuchung für den Fall c=0.

Zitat:
Original von Nutellafreak
Eine Frage. Wenn wir von der Menge der invertierbaren Matrizen reden, sind dann in der Menge die inversen der Matrizen auch enthalten?

Ja, denn die Inverse einer Matrix ist auch invertierbar. smile

Zitat:
Original von Nutellafreak
Ist die Leere Menge invertierbar? Denn wenn die Menge nur die Leere Menge besitzt ist doch sogesehen die Leere Menge auch das inverse oder nicht?

Hier vermischt du wieder die Begriffe "Menge" und "Matrix". Eine Matrix kann invertierbar sein, eine Menge nicht. geschockt

Zitat:
Original von Nutellafreak
Weil dann könnte ich mir das erstmal einfacher Vorstellen mit dem Beispielt das wir eine Menge besitzen in denen es Elemente gibt die aus und welche die aus stammen. Und dann würden wir die Elemente betrachten die aus stammen und müssten dafür die Axiome abarbeiten.

Mir ist nicht klar, was du jetzt mit diesen Mengen bezwecken willst. unglücklich

Zitat:
Original von Nutellafreak
Ich kenne die Axiome aber ich habe keine Ahnung wie ein Beweis aussehen soll.
Könntest du mir vielleicht ein Beispiel für einen Beweis geben? Also wie man ihn aufschreibt.

Der erste Schritt ist, daß du mal die Axiome hinschreibst und dann für jede Menge Punkt für Punkt formal abklapperst. Das Hinschreiben der Axiome ist wirklich nur Schreibarbeit. Und die nehme ich dir nicht ab.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Nutellafreak
Für a,b,c=0 oder a,b=0 oder a,c=0 oder b,c=0 ist keine Gerade. Du machst es dir viel zu einfach. Andererseits machst du es dir viel zu schwer, solange du dich weigerst, die richtigen Definitionen, Begriffe und Sätze der Theorie zu studieren.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Für ... a,c=0 oder b,c=0 ist keine Gerade.

Hm, das würde ich aber anders sehen (oder ich habe was falsch verstanden).

@Nutellafreak: ich hatte es bislang übersehen, aber in deinem Anhang ueb8.pdf hast du das Axiom 3 für einen Unterraum falsch dargestellt. Vielleicht ist das auch einer der Gründe, warum du dich mit diesen Aufgaben so schwer tust.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich bin über das Ziel hinausgeschossen. Hammer Mit "oder" wollte ich ausdrücken, dass man alle diese Fälle untersuchen muss. Man kann nicht einfach behaupten, sei immer eine Gerade, ohne dafür einen Beweis zu haben. ist ein Punkt, eine Gerade oder der ganze . Im übrigen ist das völlig unwesentlich, was diese Mengen geometrisch sind oder nicht sind. Viel wichtiger ist, das UVR-Kriterium sinnvoll anzuwenden, um diese Aufgabe zu bearbeiten.
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