Eigenwerte und Eigenvektoren schnell bestimmen

06.12.2017, 20:14	Mathepioneer	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte und Eigenvektoren schnell bestimmen Meine Frage: Folgende Matrix ist gegeben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10 & -2 & 4 \\ -20 & 4 & -10 \\ -30 & 6 & -13 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hiervon sollen die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt werden ohne Taschenrechner. Meine Ideen: Natürlich kann ich die Determinante mit entsprechenden -Lambda in der Diagonale entwickeln und daraus erhalte ich das charakteristische Polynom, welches ich Null setzen und auflösen kann, um die Eigenwerte zu erhalten. Jedoch finde ich, dass dieser Weg recht aufwändig und fehleranfällig ist, da man eine sehr lange Gleichung erhält, da in der Matrix keine Nullen vorhanden sind, wodurch man die Determinante schneller hätte bestimmen können. Deshalb frage ich hier, ob es nicht einen leichteren bzw. eleganteren Weg gibt.
06.12.2017, 22:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren schnell bestimmen Die beiden ersten Spalten sind linear abhängig. Für den Rest sehe ich keinen schnellen Weg.
07.12.2017, 12:33	Mathepioneer	Auf diesen Beitrag antworten »
Also kann ich die Eigenwerte dann über folgende Matrix bestimmen? $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 0-\lambda & -2 & 4 \\ 0 & 4-\lambda & -10 \\ 0 & 6 & -13-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray}$
07.12.2017, 12:44	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du ansatzweise erklären, wie du darauf gekommen bist?
07.12.2017, 13:37	Mathepioneer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe auf die erste Spalte das Fünfache der zweiten Spalte addiert, wodurch diese Null wurde. Dann habe ich über $\begin{eqnarray} det(A-\lambda\cdot I) \end{eqnarray}$ die Determinante bestimmt.
07.12.2017, 13:56	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Witz ist nur, daß es keine Regel gibt, daß man Zeilen- oder Spaltenumformungen von einer Matrix machen darf, bevor man die Eigenwerte bestimmt. Du darfst jedoch gerne Umformungen von dieser Matrix machen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10 - \lambda & -2 & 4 \\ -20 & 4 - \lambda & -10 \\ -30 & 6 & -13 -\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeilen- oder Spaltenumformungen verändern hier nicht den Werte der Determinante.
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07.12.2017, 14:31	Mathepioneer	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar vielen Dank hat mir geholfen

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