Menge von Matrizen bestimmen, die bestimmte Eigenschaften erfüllen.

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Erebos Auf diesen Beitrag antworten »
Menge von Matrizen bestimmen, die bestimmte Eigenschaften erfüllen.
Meine Frage:
Wir betrachten Matrizen über dem Körper Q der rationalen Zahlen. Geben Sie eine größtmögliche Menge solcher Matrizen an mit folgenden Eigenschaften:

i) Jede der Matrizen hat das charakteristische Polynom .
ii) Jede solche Matrix A erfüllt die Gleichung .
iii) Sind A und B zwei solche Matrizen, so gibt es keine reguläre Matrix T mit .

Begründen Sie, wieso Ihre Matrizen diese Bedingungen erfüllen und warum sich die angegebene Menge nicht vergrößern lässt.

Meine Ideen:
Folgende Informationen konnte ich bisher aus den Bedingungen ziehen:

i) Am charakteristischen Polynom erkennt man sehr schnell, dass es nicht in Linearfaktoren zerfällt, da irreduzibel in Q[x] ist und somit folgt, dass unsere Matrizen weder diagonalisierbar noch trigonalisierbar sind. Außerdem können wir die Eigenwerte und die entsprechende algebraische Vielfachheit ablesen: 1. EW ist 1 mit algebraischer Vielfachheit 5 und 2. EW ist -1 mit algebraischer Vielfachheit 1.

ii) So richtig schlau bin ich aus dieser Gleichung nicht geworden. Ich habe sie mal ein wenig umgestellt nach . Ich habe jetzt einfach mal gefolgert, dass es ein Polynom aus Q[x] geben muss mit f(A) = 0. Was genau mir diese Information bringt verstehe ich leider nicht. Hat das vielleicht irgendwas mit dem Minimalpolynom zu tun?

iii) Aus habe ich gefolgert, dass nicht gelten darf, da eine solche Matrix T ja nicht existiert. Damit dürfen zwei solche Matrizen aus der gesuchten Menge nicht ähnlich zueinander sein.

Mehr habe ich leider noch nicht herausgefunden. Über Hilfe bin ich sehr dankbar.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Erebos,

generell geht es hier um das Normalformenproblem bei Matrizen, also eben genau, wie man für eine bestimmte Klasse von Matrizen ein eindeutiges Vertretersystem bezüglich Ähnlichkeit geben kann. Z.B. über den komplexen Zahlen leistet dies ja die Jordan'sche Normalform und so ist das hier glaube ich auch die Richtung, in die man denken sollte.

Für eine explizite Darstellung deiner 12x12-Matrix kannst du schon mal damit anfangen, dass gemäß Forderung (i) fünf 1en und eine -1 auf der Diagonale steht. Dann kommt (x^2+1)^3. So ein Faktor x^2+1 im charakteristischen Polynom sorgt für einen Block auf der Diagonale der Form

.

Unten links kannst du Nullen hinsetzen, dann ist nur noch die Frage, was nach oben rechts kommt.

Und da kommt nun Forderung (ii) ins Spiel:
Wären über den Blöcken der oben benannten Form sowie über den 1en überall noch weitere 1en, so wäre diese Gleichung nicht mehr erfüllt. Also musst du schauen, mit wie vielen 1en du die JNF auffüllen darfst, so dass die geforderte Gleichung noch erfüllt wird.
(Im Hinblick aufs Minimalpolynom bedeutet die Forderung übrigens: Das Minimalpolynom von A muss ein Teiler des von dir benannten Polynoms f(x) sein.)

LG
sibelius84
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schlüssel liegt in der Tat in der Betrachtung des charakteristischen Polynoms und des Polynom . Da die Matrizen in der Menge annulliert, teilen die Minimalpolynome der Matrizen aus der Menge das Polynom (das solltest du wissen - falls nicht, beweise es, Hinweis: Division mit Rest). Ferner wissen wir, dass alle irreduziblen Faktoren des charakteristischen Polynoms im Minimalpolynom vorkommen.
Damit hat man schon massive Einschränkungen an die Ähnlichkeitsklassen der Matrizen gefunden und kann die möglichen Jordan-Normalformen leicht hinschreiben.

Ich denke ich verrate dir kein großes Geheimnis, wenn ich dir sage, dass .
Das heißt aber, dass die Matrizen auf den Haupträumen zu und (block-)diagonalisierbar sind.
D.h. es passiert eigentlich nur noch etwas auf dem Hauptraum zum Eigenwert 1.
Wenn mich nicht alles täuscht, so gibt es drei Fälle.

Edit: Da war ich wohl zu spät, Sibelius hat dir ein paar weitere gute Hinweise gegeben.
Über die Benamung der Normalformen herrscht nicht immer Einigkeit, viele Leute halten algebraische Abgeschlossenheit oder zumindest Trigonalisierbarkeit für eine Notwendigkeit, um eine Normalform zu definieren, die sie nach Jordan benennen.
Ich habe Jordan-Normalformen so kennengelernt, dass man eben z.B. über auch die zwei Matrizen als solche bezeichnet...
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