Parameterabhängige DGL

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06.12.2017, 22:59

DC21

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Parameterabhängige DGL

Hallo ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe:

Was muss ich genau bei der a) machen?

06.12.2017, 23:27

sibelius84

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Hi,

kennst du die allgemeine Lösung y_h der homogenen Gleichung y'=y? (Welche Funktion hat sich selber als Ableitung?)

Wenn du die kennst, dann käme als nächster Schritt das Erraten einer Lösung der Gleichung y'=y+a. Da kannst du sogar eine konstante Lösung finden. Konstanten in die linke Seite eingesetzt ergeben ja Null, also musst du y nur noch so wählen, dass die rechte Seite auch Null wird. Dies liefert dir eine Lösung y_p.

Die allgemeine Lösung ist dann y = y_h + y_p.

Da musst du dann noch dein b einsetzen und das ganze gleich 1+c setzen, um den freien Parameter aus y_h noch konkret (in Abhängigkeit von b und c) zu bestimmen.

LG
sibelius84

07.12.2017, 04:54

DC21

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Ich verstehe leider immer noch nicht was du meinst was ich bei der s)
machen soll?

07.12.2017, 10:21

sibelius84

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Lineares AWP lösen - mögliches Rezept

Schritt 1: Löse die homogene Gleichung (d.h. darin kommen nur y und Ableitungen vor, der Rest wird gleich Null gesetzt, das betrifft in diesem Beispiel das "a")

Schritt 2: Löse die inhomogene Gleichung (Ansatz ax^2 + bx + c). Notiere die allgemeine Lösung als y_h+y_p (wobei y_h = Lösung aus Schritt 1, y_p = Lösung aus Schritt 2).

Schritt 3: Passe die unbestimmten Parameter aus der homogenen Lösung y_h so an, dass die Anfangsbedingungen erfüllt werden.

Das ist das, was du bei der (a) machen musst. In meinem vorigen Post war ich sogar noch etwas konkreter.

Wenn ich dir weiter helfen soll, müsstest du mal präzise erläutern, bei welchem Schritt du gerade bist, wie weit du kommst, und an wlecher Stelle Probleme auftreten. Dann könnte ich gezielt darauf eingehen.

07.12.2017, 15:51

DC21

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y´ = y

dy/dx = y

$\begin{eqnarray*} ln(y) = \frac{1}{2}*x^2+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yh = e^{\frac{1}{2}*x^2}+e^{C } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yh = e^{\frac{1}{2}*x^2}+C(x) \end{eqnarray*}$

Passt die homogene Gleichung?

07.12.2017, 17:53

sibelius84

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Nicht ganz. Der ln(y) links ist ok. Das (1/2)x^2 rechts aber nicht. Du hast ja kein x dort stehen, deshalb kommt beim Integrieren auch kein (1/2)x^2 raus.

Bei der e-Funktion gilt die Gleichung $\begin{eqnarray*} e^{a+b}=e^a\cdot e^b \end{eqnarray*}$ . Im Allgemeinen wird $\begin{eqnarray*} e^{a+b}\neq e^a+ e^b \end{eqnarray*}$ sein.

07.12.2017, 21:49

DC21

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y´ = y

dy/dx = y

$\begin{eqnarray*} ln(y) = x+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yh = e^{x}+e^{C } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yh = e^{x}+C(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yp = a*x^2+bx+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yp´ = 2ax+b \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} y`-y =a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ax+b -a*x^2+bx+c = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*(2a+b)-x^2*a+b+c=a \end{eqnarray*}$

LGS:

$\begin{eqnarray*} 2a+b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b+c = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a= 0 \end{eqnarray*}$

III in I eingesetzt : b= 0 ?

Dann wäre ja auch c = 0?

Oder habe ich einen Fehler drinnen?

07.12.2017, 21:55

DC21

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[quote]Original von DC21
y´ = y

dy/dx = y

$\begin{eqnarray*} ln(y) = x+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yh = e^{x}+e^{C } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yh = e^{x}+C(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yp = a*x^2+bx+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yp´ = 2ax+b \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} y`-y =a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ax+b -a*x^2-bx-c = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*(2a+b)-x^2*a+b-c=a \end{eqnarray*}$

LGS:

$\begin{eqnarray*} 2a+b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b-c = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -a= 0 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich weiter vor?
im oberen Post hatte ich einen Vorzeichenfehler denke ich.

07.12.2017, 21:56

sibelius84

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Das mit dem homogenen Teil sieht jetzt besser aus, wobei du leider das mit der e-Funktion noch nicht wirklich berücksichtigt hast.

Oh sorry, das mit dem Ansatz ax^2+bx+c hatte ich mit einem anderen thread verwechselt, wo es um etwas Ähnliches ging. Hier kannst du sogar einen Ansatz mit einer Konstante $\begin{eqnarray*} y_p(x):=\beta \end{eqnarray*}$ versuchen. Nicht das a nehmen, das ist ja schon Parameter in deiner DGL.

07.12.2017, 22:53

DC21

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Wieso nehme ich Beta ?

Woher kommst du darauf ?

Beta abgeleitet ergibt ja 0 oder ?

07.12.2017, 23:52

sibelius84

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Man versucht bei solchen DGL

y' + ay = s

immer die rechte Seite - s steht für "Störfunktion" - zu imitieren. Wenn s von der Form acos(nx)+bsin(nx) ist, so setzt man auch in der Form Acos(nx)+Bsin(nx) an. Wenn s eine e-Funktion ist, so probiert man eine e-Funktion. Wenn s ein Polynom n-ten Grades ist, so probiert man ein Polynom n-ten Grades. Hier ist die Störfunktion a ein Polynom 0-ten Grades, so dass man ein Polynom 0-ten Grades probieren kann.

08.12.2017, 09:10

DC21

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Die Gleichubg würde dann ergeben :

Beta = a

Was mache ich aber jetzt weiter ?

08.12.2017, 12:44

sibelius84

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Deine DGL ist ja y'=y+a. Wenn du jetzt y=a wählst, wird - wie du richtig festgestellt hast - y'=0. Also bekommen wir 0=2a. Die Gleichung geht also nicht auf (wenn nicht zufällig gerade a=0 ist). Also müsstest du da vielleicht noch ein wenig was ändern, damit nicht 0=2a, sondern 0=0 bei der Probe rauskommt Augenzwinkern

Sodann würde ich als nächstes mal deine homogene Lösung korrigieren, das mit der e-Funktion stimmt noch nicht. Ich mache mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \ln(x)=a+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow e^{\ln(x)}=e^{a+b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x=e^a \cdot e^b \end{eqnarray*}$ .

Aus "Plus" wird "Mal"!

Wenn du dann deine homogene Lösung y_h und die partikuläre Lösung y_p korrigiert hast, dann schreib die allgemeine Lösung y_p+y_h auf. In y_h befindet sich noch ein unbestimmter Parameter (eben die Konstante C). Wenn du nun die Anfangsbedingung einsetzt, kannst du dieses C in Abhängigkeit von b, c noch konkret bestimmen.

08.12.2017, 14:34

DC21

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y´ = y

dy/dx = y

$\begin{eqnarray*} ln(y) = x+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yh = e^{x}*e^{C } \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt verstehe ich immer noch nicht was ich genau bei ypartikulär machen soll ?

08.12.2017, 19:21

sibelius84

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Die homogene Lösung stimmt jetzt. Freude

Ich würde e^C etwa auf den Namen D taufen, dann hast du eine neue Konstante, die du witzigerweise nicht als positiv annehmen musst (obwohl e^C das für reelles C ja immer ist).

Zur 'Party-Lösung':
y'=y+a
Ansatz y_p := beta
liefert
0 = beta + a

Also beta = ...?

08.12.2017, 22:21

DC21

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beta = -a

y= yh +yp

y= e^{x}*D-a

Puuh geschafft ,wie geht es jetzt genau weiter ?

09.12.2017, 12:01

sibelius84

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y(x) = De^x - a

y(b) = De^{1+c}-a

Daraus kannst du D bestimmen (in Abhängigkeit von b, c). Das so bestimmte D setzt du dann in y(x) wieder ein. Die (a) ist dann fertig und du kannst an die (b) gehen, nämlich y nach den Parametern a, b, c abzuleiten.

09.12.2017, 14:18

DC21

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y(x) = De^x - a

y(b) = De^{1+c}-a

D = y(b)/(e^{1+c}-a)

einsetzen in I Gleichung :

$\begin{eqnarray*} y(x) = y(b)/(e^{1+c}-a)*e^x - a \end{eqnarray*}$

Die obere Gleichung nach a,b und c ableiten ?

Nach a abgeleitet bleibt nur -1 übrig Leute oder ?

Puh ist schon schwer Big Laugh

09.12.2017, 17:56

sibelius84

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Das Schwierige an dieser Aufgabe ist, dass sie so einfach ist. Augenzwinkern

Wenn du eine DGL hättest wie

y'' + 2y' - 3y = cos(x)

oder

y' = yx^2 + 3,

könntest du "einfach drauflosrechnen". Bei deiner Aufgabe sind die rechnerischen Zusammenhänge eigentlich sehr sehr einfach - man muss nur genau lesen, was man tun muss.

Ok, du hast nun $\begin{eqnarray*} y(x)=De^x-a \end{eqnarray*}$ . Wenn du b für x einsetzt, dann musst du das auf beiden Seiten tun. Das x bei e^x wird also auch zu einem b. Dafür würde ich auf der rechten Seite lieber 1+c schreiben als y(b) (denn die Startbedingung sagt ja gerade, dass y(b)=1+c). Das ganze dann nach D umformen und in y(x) einsetzen.

Danach kannst du nach a, b, c ableiten. Beim Ableiten nach a bleibt mehr übrig als die -1, denn im Nenner des Bruches vor dem e^x taucht ja auch noch ein "-a" auf (Ketten- bzw. Quotientenregel anwenden!).

10.12.2017, 09:41

DC21

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$\begin{eqnarray*} 1+c=De^{y(b)}-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D= \frac{1+c+a}{ e^{y(b)} } \end{eqnarray*}$

Wo soll ich das ganze jetzt einsetzen ?

Bin verwirrt Big Laugh

10.12.2017, 20:00

DC21

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Noch da?

10.12.2017, 20:23

sibelius84

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Jetzt wieder.
Du musst immer das selbe x einsetzen. Für alle x das selbe. In den Exponenten der e-Funktion kommt also nicht y(b) rein, sondern b.

Dann hast du D raus. Damit kannst du deine fertige Lösung y(x) dann aufschreiben. Darin kommt dann kein D mehr vor, sondern nur noch x und a, b, c.

10.12.2017, 21:26

DC21

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Ich verstehe nicht was du meinst ?

Kannst du es nicht aufschreiben und posten ?
Ich übe doch nur an der Aufgabe

10.12.2017, 23:37

sibelius84

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Komm' schon, so schwer ist die nicht Augenzwinkern

Du bist doch jetzt schon so weit gekommen, da wirst du doch nicht kurz vor dem Ziel aufgeben. Forme einfach die Gleihung (aus der Anfangsbedingung) nach D um schreibe dann wieder deine Lösung y(x) mit dem eingesetzten D auf.

11.12.2017, 00:14

DC21

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$\begin{eqnarray*} 1+c=De^{b}-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D= \frac{1+c+a}{ e^{b} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+c=\frac{1+c+a}{ e^{b} } *e^{b}-a \end{eqnarray*}$

So?

11.12.2017, 00:25

sibelius84

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Zeilen 1 und 2 sind richtig. Zeile 3 wäre besser so:

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{1+c+a}{ e^{b} } *e^{x}-a \end{eqnarray*}$ .

11.12.2017, 00:35

DC21

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$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{1+c+a}{ e^{b} } *e^{x}-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y´(a)=\frac{1+c+a}{ e^{b} } *e^{x}-a \end{eqnarray*}$

Produktregel ?

$\begin{eqnarray*} y´(a)=\frac{1+c+a}{ e^{b} } *e^{x}-0*e^{x} -1 \end{eqnarray*}$

Richtig?

11.12.2017, 00:36

DC21

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Zitat:

Original von DC21
$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{1+c+a}{ e^{b} } *e^{x}-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y´(a)=\frac{1+c+a}{ e^{b} } *e^{x}-a \end{eqnarray*}$

Produktregel ?

$\begin{eqnarray*} y´(a)=e^{x} -1 \end{eqnarray*}$

Richtig?

11.12.2017, 12:48

sibelius84

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Meinst du mit der 4 bei y^4 den Ableitungsstrich?

Ich würde eher sagen, die Ableitung nach a ist e^(x-b)-1. Produktregel ist möglich, aber an sich nicht nötig.

11.12.2017, 13:05

DC21

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e^(x-b)-1

Wie kommst du auf das x-b im Exponenten?

11.12.2017, 14:42

DC21

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$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{1+c+a}{ e^{b} } *e^{x}-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(b)=\frac{1+c+a}{ 1 } *e^{x-b}-a \end{eqnarray*}$

Ableitung nach b:

$\begin{eqnarray*} y´ (b)=- e^{x-b} \end{eqnarray*}$

Ableitung nach c:

1 ?

11.12.2017, 17:22

sibelius84

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e^(x-b) nicht vergessen, das gibt's auch noch, kommt einfach mit (hängt ja von c nicht ab).

11.12.2017, 17:39

DC21

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[quote]Original von DC21
$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{1+c+a}{ e^{b} } *e^{x}-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(b)=\frac{1+c+a}{ 1 } *e^{x-b}-a \end{eqnarray*}$

Ableitung nach b:

$\begin{eqnarray*} y´ (b)=- e^{x-b} \end{eqnarray*}$

Ableitung nach c:
y´ (c)=- e^{x-b}

Für die Nachwelt nochmal sauber aufgeschrieben Big Laugh

Was muss ich jetzt weiter machen Sibelius ?
Oh man die Aufgabe läuft ja schon über 3 Tage Big Laugh

11.12.2017, 19:48

sibelius84

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Und über 3 Seiten...
Bei y'(c) hast du ein Minus zuviel.

Versuch doch erstmal selbst zu Aufgabe c, an sich steht ja schon in der Aufgabe, was du machen musst. Kannst ja dann mal sagen, was du hast und dann vergleichen wir.

11.12.2017, 19:52

DC21

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Ich verstehe nicht was ich bei derc) ableiten soll?

Was ist mit (1) gemeint?

11.12.2017, 20:36

DC21

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Noch da sibelius ?

Was studierst du eigentlich ?

11.12.2017, 20:44

sibelius84

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Kunstgeschichte und Literaturwissenschaften.

11.12.2017, 21:13

DC21

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Haha aber wie soll ich weiter gehen ?

Will jetzt heute fertig werden mir der Aufgabe Big Laugh

11.12.2017, 22:57

sibelius84

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Mit (1) ist das AWP gemeint, was da oben steht. Also y'=y+a, y(b)=1+c. Das ist auch das, was du ableiten sollst. Erst nach a, dann nach b, dann nach c. Viel davon ist auch einfach 'formale Ausdrücke hinschreiben'.

edit:

Beim Ableiten nach einem Buchstaben, z.B. a, diesen Buchstaben an alle y's unten dran notieren als Index / Ableitungskennzeichen, und was man richtig ableiten kann, ableiten.

Beispiel:

y'=y+a nach a abgeleitet ergibt $\begin{eqnarray*} y'_a=y_a+1 \end{eqnarray*}$ .
y(b)=1+c nach a abgeleitet ergibt $\begin{eqnarray*} y_a(b)=0 \end{eqnarray*}$ .

(a ergibt abgeleitet 1, und 1+c hängt von a nicht ab, fällt also weg.)

Das liefert dir ein neues Anfangswertproblem in der neuen Variablen y_a, das du lösen darfst. Das musst du dann aber wirklich alleine schaffen, bspw. nach dem Vorbild, wie wir es die letzten Tage zusammen gemacht haben. Wenn du ein Ergebnis raushast, dann vergleiche es mit dem Ergebnis aus (b), das beim Ableiten des Ergebnisses aus (a) nach dem Parameter a entstand. Wenns gleich ist, schreib das hin. Wenns ungleich ist, auch.

11.12.2017, 23:04

DC21

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y'=y+a

Nach a:

y´(a) = 1

y(b)=1+c

nach b abgeleitet :0

Das : y(b)=1+c

nach c abgeleitet 1?

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