Rangbestimmung bei Matrix mit Parameter

07.12.2017, 12:30

forbin

Rangbestimmung bei Matrix mit Parameter

Hallo,

ich habe folgende Matrix gegeben: $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} t & t-3 & 2 \\ 2-t & 2t-1 & 2-t \\ 2t-1 & -2 & t+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie den Vektor $\begin{eqnarray*} b = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich das t so bestimmen, dass $\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$ genau eine, keine oder parameterabhängige Lösungen hat.

Nun, für den Fall genau eine weiß ich, dass die Determinante ungleich null sein muss.
Das ist einfach.

Aber für die beiden anderen Fälle muss ich ja den Rang und den erweiterten Rang bestimmen.
Übersehe ich da etwas ganz simples? Ich habe jetzt Umformungen von drei Seiten vor mir, aber bin immernoch nicht am Ende....
Also ich habe es versucht den Rang der Matrix, der erweiterten Matrix und jeweils den Rang der transponierten der beiden zu bestimmen. Aber ich sehe es einfach nicht....

Könnt ihr mir einen Tipp geben?

07.12.2017, 12:45

klarsoweit

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RE: Rangbestimmung bei Matrix mit Parameter

Zitat:

Original von forbin
Nun, für den Fall genau eine weiß ich, dass die Determinante ungleich null sein muss.
Das ist einfach.

Dann schau doch mal, für welche t die Determinante gleich Null ist. Diese Fälle mußt du dann separat untersuchen. Augenzwinkern

07.12.2017, 12:53

forbin

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Ja, einen solchen Ansatz hatte ich auch schonmal im Kopf, aber ich wusste nicht, wie ich das in den Rang bekomme.
Also die Determinante wird 0 bei 1,-2 und 5.

Aber das einsetzen bringt mir ja nichts, da ich ja weiß, was da passiert verwirrt

07.12.2017, 13:02

klarsoweit

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Wieso sollte das nichts bringen? Und wenn du schon weißt, was passiert, dann ist ja alles in Ordnung. Augenzwinkern

07.12.2017, 13:05

forbin

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ne ich meinte, wenn ich die Werte einsetze, dann erhalte ich eine Matrix, deren Determinante null ist, also nicht vollen Rang hat.
Aber ich möchte ja genau den anderen Fall, nämlich vollen Rang?

07.12.2017, 13:13

klarsoweit

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Wenn die Matrix vollen Rang hat, dann gibt es genau eine Lösung. Ich dachte, der Fall wäre damit erledigt. geschockt

07.12.2017, 13:20

forbin

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Ja, und die hat vollen Rang, wenn die Determinante ungleich null ist.

Aber für die anderen beiden Fälle muss ich doch nun den Rang von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A|b) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Und genau da hänge ich.

07.12.2017, 13:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von forbin
Aber für die anderen beiden Fälle muss ich doch nun den Rang von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A|b) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Und genau da hänge ich.

Wie gesagt: setze die entsprechenden Werte für t ein und rechne. smile

07.12.2017, 13:39

sixty-four

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Wenn du die Werte einsetzt, kannst du doch den Rang ausrechnen. Dass er kleiner sein muss als 3 weißt du schon. Wo also ist das Problem?

07.12.2017, 14:00

forbin

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Das gibt es doch nicht, jetzt bin ich komplett falsch unterwegs unglücklich

Ich habe die Determinante dieser Matrix A bestimmt. Sie ist: $\begin{eqnarray*} t^{3} -2t^{2}-13t-10 \end{eqnarray*}$
Das sollte doch so stimmen?
Deren Nullstellen sind -1,-2 und 5.
Wenn ich jetzt aber 5 einsetze, ist die Determinante nicht null, sondern 72.

Sorry, jetzt bin ich gerade total durcheinander.
Es würde mich wundern, wenn das Polynom nicht stimmt, denn für eine Übungsaufgabe hat es genau die richtigen Lösungen, nämlich ganze Zahlen.

Edit:
das gibt es doch nicht....

So, die Lösungen, für welche die Determinante den Wert null annimmt, sind -1,1,2.

Der Rang der erweiterten Matrizen mit diesen drei Werten ist jeweils drei.
Also gilt für diese, dass das LGS keine Lösungen hat, da Rang(A) < 3 (da die Determinante ja null ist).

07.12.2017, 14:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von forbin
Ich habe die Determinante dieser Matrix A bestimmt. Sie ist: $\begin{eqnarray*} t^{3} -2t^{2}-13t-10 \end{eqnarray*}$

Hm. Ich habe da $\begin{eqnarray*} t^3 -2t^2 - t +2 \end{eqnarray*}$ raus. verwirrt

07.12.2017, 14:28

forbin

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von forbin
Ich habe die Determinante dieser Matrix A bestimmt. Sie ist: $\begin{eqnarray*} t^{3} -2t^{2}-13t-10 \end{eqnarray*}$

Hm. Ich habe da $\begin{eqnarray*} t^3 -2t^2 - t +2 \end{eqnarray*}$ raus. verwirrt

Ich jetzt auch. Siehe bitte in meinem Beitrag, habe dort editiert smile

07.12.2017, 14:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von forbin
Der Rang der erweiterten Matrizen mit diesen drei Werten ist jeweils drei.

Ja, das habe ich auch. Da es in allen drei Fällen keine Lösung gibt, wächst in mir der Verdacht, daß es in der Matrix oder bei dem b einen Fehler gibt.

07.12.2017, 14:58

forbin

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Ich wunderte mich auch, aber ich habe es nochmal überprüft. Die Angaben stimmen so.

07.12.2017, 15:17

forbin

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Ich frage mal nach ob das auf dem Blatt vielleicht falsch ist.

Ich bin euch aber sehr dankbar für eure Hilfe!!!

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