Summierbarkeit

07.12.2017, 12:42

Sven1001

Summierbarkeit

Hallo, kann mit vllt jmd bei folgender Aufgabe einen Tipp geben, wie ich eine obere Schranke finden kann. Ich komme nicht drauf. Was kann ich tun? verwirrt

07.12.2017, 14:10

IfindU

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RE: Summierbarkeit
Schwer zu sagen was du an Mitteln zur Verfügung hast. Wenn du Integralkriterien und Fubini kennst, wäre das mit Polarkoordinaten schnell erledigt.

Ansonsten kann man die Idee vom Cauchy-Verdichtungskriterium auf wachsende Annuli (bzgl. beliebiger Norm) statt Intervalle anwenden und bekommt ebenfalls das Ergebnis.

07.12.2017, 14:25

HAL 9000

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Oder so: Es ist $\begin{align*} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n a_{jk} \stackrel{!}{=} \sum_{m=1}^n ~ \sum_{\substack{j,k:\\ \max(j,k)=m}} a_{jk} \end{align*}$ ,

wobei die innere Summe rechts genau $\begin{align*} 2m-1 \end{align*}$ Summanden enthält. Diese Idee kann bei beiden Teilaufgaben eingesetzt werden, kombiniert mit passenden Majoranten- bzw. Minorantenabschätzungen. Augenzwinkern

07.12.2017, 14:36

Sven1001

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Danke euch smile

Die Dinge von IfindU dürfen wir leider nicht verwenden.
Dann müsste ich HAL9000 weg gehen, den ich erstmal verstehen muss.
Also du schreibst erstmal die Partialsummenfolgen hin.
Kannst du dann das "=" bitte näher erläutern. Wie kommst du auf die Idee, dass m=max(j,k) ist.

07.12.2017, 14:42

IfindU

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Und ich hatte extra zwei Wege angegeben traurig

Die Aufteilung von HAL siehst du sofort, wenn du die die Punkte im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ aufmalst. Das sind auch die "Annuli" von denen ich sprach, HAL war bloss extra clever und hat sich den Umweg übers Verdichten gespart, indem er auf die Reihenkonvergenzen im Eindimensionalen zurückgriff.

07.12.2017, 14:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sven1001
Wie kommst du auf die Idee, dass m=max(j,k) ist.

Gewöhne dir bitte ab zu fragen, wie ich auf eine Idee komme. Augenzwinkern

Ich gehe von $\begin{align*} m \end{align*}$ aus und suche mir dann Paare $\begin{align*} j,k \end{align*}$ , für die $\begin{align*} \max(j,k)=m \end{align*}$ gilt:

[attach]45957[/attach]

P.S.: Hat etwas gedauert, das Bildchen zu malen, deshalb ist mir IfindU etwas zuvorgekommen. smile

07.12.2017, 14:48

Sven1001

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Es ist $\begin{align*} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n a_{jk} \stackrel{!}{=} \sum_{m=1}^n ~ \sum_{\substack{j,k:\\ \max(j,k)=m}} a_{jk} \end{align*}$
Ich würde es gerne aufmalen, wenn ich verstehen würde, wie diese Doppelsumme "arbeitet". Also z.b m=1 was macht dann die andere Summe? verwirrt

07.12.2017, 16:46

HAL 9000

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Kein Interesse mehr, oder wartest du noch auf eine Antwort? Ich war davon ausgegangen, dass du meinen letzten Post noch nicht gelesen hattest, als du deinen verfasst hast.

07.12.2017, 19:54

Sven1001

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Natürlich habe ich Interesse. Nur ich verstehe es noch nicht und will erst schreiben, wenn ich es verstanden habe.

13.12.2017, 13:14

HAL 9000

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Irgendwie dann ja doch nicht. Dann will ich den Thread wenigstens mal noch abrunden:

a) Für $\begin{align*} a_{jk} = \frac{1}{j^3+k^3} \end{align*}$ kann man im Fall $\begin{align*} \max(j,k)=m \end{align*}$ abschätzen $\begin{align*} a_{jk} < \frac{1}{m^3} \end{align*}$ und damit dann

$\begin{align*} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n a_{jk} = \sum_{m=1}^n ~ \sum_{\substack{j,k:\\ \max(j,k)=m}} a_{jk} < \sum_{m=1}^n \frac{2m-1}{m^3} < \sum_{m=1}^n \frac{2}{m^2} < \frac{\pi^2}{3} \end{align*}$

also Konvergenz.

b) Für $\begin{align*} a_{jk} = \frac{1}{j^2+k^2} \end{align*}$ kann man im Fall $\begin{align*} \max(j,k)=m \end{align*}$ abschätzen $\begin{align*} a_{jk} \geq \frac{1}{2m^2} \end{align*}$ und damit dann

$\begin{align*} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n a_{jk} = \sum_{m=1}^n ~ \sum_{\substack{j,k:\\ \max(j,k)=m}} a_{jk} \geq \sum_{m=1}^n \frac{2m-1}{2m^2} \geq \sum_{m=1}^n \frac{1}{2m} \end{align*}$ ,

und das rechts ist für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ die divergente Harmonische Reihe.

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