Körpererweiterung erzeugen

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Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterung erzeugen
Meine Frage:
Hallo ich soll beweien, dass K(x)/K durch Adjunktion einer Quadratwurzel erzeugt werden kann, d.h. K(X) = K(w) mit

hierbei sind x die mit Zirkel und Linear konstruierbaren Punkte und K Teilkörper der aus der E={0,1} konstruierbaren Punkt der komplexen Zahlen.

Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt dass meine Körpererweiterung wie folgt aussehen muss:



aber irgendwie komm ich jetzt gar nicht weiter.
Kann mir jemand helfen?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sarah,

da müsstest du schon mal ein wenig konkreter werden.

Du sprichst zunächst von einer Körpererweiterung K(x)/K, und bringst dann plötzlich den Körper der rationalen Funktionen K(X) ins Spiel. Vermutlich nur ein Schreibfehler?

Das x markiert normalerweise nur eine Stelle und nicht mehrere. Dafür hätte man dann weitere Buchstaben des Alphabets x, y, z, ... oder eben indizierte Variablen x_1, ..., x_n. Insofern ergibt es wenig Sinn zu sagen "x sind". Oder ist mit x hier eine Menge gemeint?

Und "K Teilkörper der aus der E={0,1} konstruierbaren Punkt der komplexen Zahlen" verstehe ich gar nicht. Ist K ein beliebiger Teilkörper von C mit der Eigenschaft, dass alle Punkte darin konstruierbare Punkte sind? Oder ist K ein beliebiger Teilkörper von C mit der Eigenschaft, dass alle konstruierbaren Punkte darin liegen?

Wenn du das alles noch ein wenig (oder ein wenig mehr) konkretisierst und präzisierst, kann ich gerne versuchen dir zu helfen.

LG
sibelius84
 
 
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sibelius,

du hast recht, das war ein Schreibfehler.
Und das x ist auch nur ein Punkt.

Habe die Aufgabe mal als Dateianhang hinzugefügt.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Kreis ist ja so etwas wie



bzw. äquivalent

,

wobei eben z_0 aus K stammt, und .

Deinen Punkt x nenne ich mal t, damit es nicht zu notationaler Verwirrung kommt.

Du hast nun also deinen Punkt t=u+iv und weißt, dass er obige Gleichung erfüllt, also

gilt.

Weiter weißt du, dass er entweder eine weitere Kreisgleichung dieser Form, oder eine Geradengleichung ax+by=c mit a, b, c aus K erfüllt.

Kannst du das Minimalpolynom von t bestimmen? Da müsstest du darauf kommen, dass das quadratisch ist. Dann könntest du es quadratisch ergänzen und hättest mit dem Viech in der quadrierten Klammer dann vermutlich deine gewünschte Stelle gefunden.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Minimalpolynom von t ist doch

X^2 - u^2 + v^2

Allerdings verstehe ich jetzt noch nicht ganz was ich wie ergänzen soll, was du mit 2 Viech meinst...
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sarah,

bei dem Minimalpolynom würde ich widersprechen wollen. Erstmal muss ich mich aber korrigieren und entschuldigen: Ich hatte mit bzw. verwechselt, schon weil es so ähnlich aussieht.

Jetzt noch mal ganz richtig:
Über K konstruierbare Punkte sind genau jene, die in der Ebene als Schnitt solcher Geraden und Kreisen entstehen, die durch Punkte aus K definiert sind.

Fall 1:

t=u+iv ist als Schnittkoordinate einer Kreis- und einer Geradengleichung gegeben. (Die weitere, uns nicht zentral interessierende Schnittkoordinate nennen wir .)

,
,

wobei aus K kommen.

Die Geradengleichung kann man, falls nicht schon aus K stammt, nach umformen und in die Kreisgleichung einsetzen. Multipliziert man hier jetzt aus, so sieht man zB, dass

mit gewissen p, q, die aufgrund der Abgeschlossenheit des Körpers K auch wieder aus diesem stammen. Dies heißt aber wiederum

.

Nun betrachte mal das Element .

Grüße
sibelius84
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

Also erst nochmal das Minimalpolynom:

t² = (u+iv)² = u² + 2uiv + i²v² = u² + 2uiv -v²

Also müsste dann das Minimalpolynom: X² - u² + v² - 2uiv sein?

Wenn ich jetzt die Geradengleichung nach umforme kommt da ja raus:



Wenn ich das in die Kreisgleichung einsetze fallen doch nicht meine x0, y0, a,b,c weg, sodass ich nur noch das stehen habe..

Dieser Schritt wie ich das folgern kann ist mir nicht ganz klar.



und wie du dann darauf kommst sehe ich auch noch nicht verwirrt verwirrt verwirrt
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »



in



ergibt

, also

also nach Rechnen, Rechnen, Rechnen und Division durch den Faktor vor , der da wäre :



mit ,



falls ich mich nicht verrechnet habe. Und selbst wenn, wäre es egal, denn das Entscheidende ist, dass p und q aufgrund der Abgeschlossenheit des Körpers (!) K unter allen vier Grundrechenarten wieder Elemente von K sind. Daher gilt für das normierte Polynom , dass es aus K[X] stammt und t als Nullstelle hat. Wenn man nun voraussetzt, dass t nicht schon in K liegt, dann hat man damit automatisch das Minimalpolynom gefunden.

Der Schritt von t^2+pt+q = 0 zu der Gleichung mit (p/2)^2 und q ist einfach quadratische Ergänzung (= Herleitung der pq-Formel). Überzeuge dich am besten von der Äquivalenz beider Gleichungen, indem du in letztgenannter Gleichung (mit dem p/2) einfach die Klammer auflöst und zusammenfasst.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay die Rechnungen sind mir jetzt klar, danke dass du sie so ausführlich nochmal aufgeschrieben hast.

Aber ist unser Körper nicht nur abgeschlossen bezüglich der Konjugation?? Wäre dass dann nicht aus (x-iy) aus Ê folgt, dass auch (x+iy) aus Ê ist ? Also ich sehe in den Voraussetzungen nicht, dass der Körper unter allen Rechenoperationen abgeschlossen ist.

Aber so ganz durchblicke ich noch nicht wo unsere Adjunktion einer Quadratwurzel ist und warum gilt K(x) = K(w)...also so der Bezug zu der Behauptung. Es tut mir wirklich leid, dass ich so auf dem Schlauch zu stehen scheine ..
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Es liegt im Begriff eines Körpers, dass dieser unter allen vier Grundrechenarten abgeschlossen ist (so wie etwa die rationalen, reellen oder komplexen Zahlen). Das mit der Konjugation steht nur deshalb da, weil dies eben nicht schon selbstverständlich für jeden Körper gilt, sondern extra erwähnungsbedürftig ist.

Zum einen folgt ja aus der Gleichung

,

dass .

Zum anderen gilt aber sicher . Damit ist die gewünschte Darstellung des Körpers durch Adjunktion eines Elementes, dessen Quadrat in K liegt, gefunden.
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