Reihen auf Konvergenz untersuchen

07.12.2017, 14:44

Peter Silie

Reihen auf Konvergenz untersuchen

Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard.

Ich habe folgende Aufgaben zu lösen:

1) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{n} \frac{n^3}{3^n} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^{n} \frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{n} \frac{n}{n^3-1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu 1)

Quotientenkriterium

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{|a_{n+1}| }{|a_{n} |} = \frac{1}{3} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Reihe konvergiert also.

2) Da habe ich ebenso versucht das Quotientenkriterium anzuwenden. Nach Umformung bin ich aber hier stehen geblieben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n+1}{n^2+2n+2} \cdot \frac{n^2+1}{n} \end{eqnarray*}$

Übersehe ich da was oder muss ich anders vorgehen?

Danke im Voraus für eure Antworten.

07.12.2017, 15:27

klarsoweit

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RE: Reihen auf Konvergenz untersuchen

Zitat:

Original von Peter Silie
zu 1)

Quotientenkriterium

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{|a_{n+1}| }{|a_{n} |} = \frac{1}{3} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Reihe konvergiert also.

Prinzipiell ist das Ergebnis korrekt, aber der Grenzwert muß echt kleiner als 1 sein. smile

Zitat:

Original von Peter Silie
2) Da habe ich ebenso versucht das Quotientenkriterium anzuwenden. Nach Umformung bin ich aber hier stehen geblieben:

Zum einen ist das Quotientenkriterium ungeeignet, zum anderen solltest du da über Divergenz nachdenken. Augenzwinkern

07.12.2017, 17:38

Peter Silie

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RE: Reihen auf Konvergenz untersuchen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Peter Silie
zu 1)

Quotientenkriterium

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{|a_{n+1}| }{|a_{n} |} = \frac{1}{3} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Reihe konvergiert also.

Prinzipiell ist das Ergebnis korrekt, aber der Grenzwert muß echt kleiner als 1 sein. smile

Was ist denn mit echt kleiner als 1 gemeint. 1/3 ist doch definitiv kleiner als 1. verwirrt

Zitat:

Original von Peter Silie
2) Da habe ich ebenso versucht das Quotientenkriterium anzuwenden. Nach Umformung bin ich aber hier stehen geblieben:

Zitat:

Zum einen ist das Quotientenkriterium ungeeignet, zum anderen solltest du da über Divergenz nachdenken. Augenzwinkern

Genau. Das diese Reihe divergieren wird, dachte ich mir auch schon. Ich weiß leider nicht wie ich das gut zeigen könnte. unglücklich

07.12.2017, 17:58

klarsoweit

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RE: Reihen auf Konvergenz untersuchen

Zitat:

Original von Peter Silie
Was ist denn mit echt kleiner als 1 gemeint. 1/3 ist doch definitiv kleiner als 1. verwirrt

Du hast 1/3 <= 1 geschrieben, was zwar formal stimmt, aber auch suggeriert, daß ein Grenzwert von 1 auch ausgereicht hätte. smile

Zitat:

Original von Peter Silie
Genau. Das diese Reihe divergieren wird, dachte ich mir auch schon. Ich weiß leider nicht wie ich das gut zeigen könnte. unglücklich

Finde eine divergente Minorante z.B., indem du abschätzt: $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2+1} \geq \frac{n}{n^2+n^2} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

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