Bildet die Menge einen Untervektorraum?

08.12.2017, 09:52

xxJan

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Bildet die Menge einen Untervektorraum?

Hallo ich habe eine kurze Frage:
Die Aufgabenstellung verlangt, dass ich überprüfen soll ob die Menge $\begin{eqnarray*} U_{2}={f\in C[a,b]|f(a)*f(b)=0} \end{eqnarray*}$ Es gilt zudem: $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b\neq= \end{eqnarray*}$

Ich wollte jetzt die beiden Bedingungen prüfen, dass:

$\begin{eqnarray*} f(x)\oplus g(x)\in U_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda\otimes f[x]\in U_{2} \end{eqnarray*}$

Um die Additive Verknüpfung zu zeigen, wollte ich zeigen:

$\begin{eqnarray*} f(a)*f(b)+g(a)*g(b) \end{eqnarray*}$ und das wäre ja 0 wegen $\begin{eqnarray*} f(a)*f(b)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(a)*g(b)=0 \end{eqnarray*}$ und dann wäre das ja wahr.

Das kommt mir aber zu simpel vor, deshalb wollte ich mal fragen ob ich da auf dem Holzweg bin?

Danke schonmal für eure Antworten.

LG

08.12.2017, 10:12

klarsoweit

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RE: Bildet die Menge einen Untervektorraum

Zitat:

Original von xxJan
Ich wollte jetzt die beiden Bedingungen prüfen, dass:

$\begin{eqnarray*} f(x)\oplus g(x)\in U_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda\otimes f[x]\in U_{2} \end{eqnarray*}$

Nun ja, ich würde das formal eher so schreiben: $\begin{eqnarray*} (f + g) \in U_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\lambda \cdot f) \in U_2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von xxJan
Um die Additive Verknüpfung zu zeigen, wollte ich zeigen:

$\begin{eqnarray*} f(a)*f(b)+g(a)*g(b) \end{eqnarray*}$

Was willst du da zeigen? Da steht nur ein Term, der obendrein mit der Bedingung, daß $\begin{eqnarray*} (f + g) \in U_2 \end{eqnarray*}$ sein soll, nichts zu tun hat.

08.12.2017, 10:50

xxJan

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RE: Bildet die Menge einen Untervektorraum
Genau deshalb war ich mir a nicht sicher ob das überhaupt das bisher richtig ist.

Wenn ich beweisen würde, dass

$\begin{eqnarray*} (f+g)(a)*(f+g)(b)=0 \end{eqnarray*}$ ist, wäre das dann ein besserer Ansatz?

08.12.2017, 11:15

klarsoweit

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RE: Bildet die Menge einen Untervektorraum
Da ist jedenfalls der korrekte Ansatz. smile

smile

08.12.2017, 11:40

xxJan

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RE: Bildet die Menge einen Untervektorraum
Das kann ich ja umformen nach:

$\begin{eqnarray*} (f(a)+g(a))*(f(b)+g(b)) \end{eqnarray*}$

Nur stehe ich irgendwie jetzt auf dem Schlauch. Wenn ich die binomische Formel anwende, bekomme ich auch nichts logisches heraus. Ist das dann überhaupt ein Unterraum?

08.12.2017, 12:12

klarsoweit

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RE: Bildet die Menge einen Untervektorraum

Zitat:

Original von xxJan
Ist das dann überhaupt ein Unterraum?

Die Frage solltest du beantworten. Wenn du den Verdacht hegst, daß es keiner ist, solltest du ein Gegenbeispiel konstruieren können. smile

smile

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08.12.2017, 12:28

xxJan

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RE: Bildet die Menge einen Untervektorraum
Da $\begin{eqnarray*} f(a)* f(b)=0 \end{eqnarray*}$ ist, muss einer der beiden Faktoren null sein, und da es ja für alle a und b gelten muss, können die Funktionen ja nur immer null sein also sowas wie x-x oder nicht?

und wenn dem so wäre, dann wären die beiden Kriterien ja erfüllt.

Das wäre aber auch irgendwie komisch...

08.12.2017, 13:03

Elvis

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08.12.2017, 13:18

xxJan

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Sorry aber ich verstehe nicht ganz was die Grafik mir jetzt sagen soll verwirrt

verwirrt

08.12.2017, 13:21

klarsoweit

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Prüfe, ob die Funktionen f(x)=x und g(x) = 5-x Elemente von U_2 sind, wenn man mal das Intervall [a; b] := [0; 5] nimmt. Was ist mit der Summenfunktion f+g ?

08.12.2017, 13:35

xxJan

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mit a=0 und b =5 passt es zwar aber ja auch nur für die beiden und nicht für werte die dazwischen liegen.. Zudem sind ja $\begin{eqnarray*} a,b \neq 0 \end{eqnarray*}$ ..

Die Summenfunktion ist ja $\begin{eqnarray*} x+5-x \end{eqnarray*}$ und das ist $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$

Oder habe ich irgendwas falsch verstanden?

08.12.2017, 13:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von xxJan
und nicht für werte die dazwischen liegen.

Das hat ja auch niemand verlangt. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von xxJan
Zudem sind ja $\begin{eqnarray*} a,b \neq 0 \end{eqnarray*}$ ..

Nun ja, wenn (warum auch immer) verlangt wird, daß beide Werte ungleich Null sind, mußt du die Funktionen noch etwas verschieben. smile

smile

08.12.2017, 13:50

Elvis

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Ich dachte, $\begin{eqnarray*} a,b\ne= \end{eqnarray*}$ sollte gelten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.12.2017, 13:51

xxJan

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das hat ja auch niemand verlangt. Big Laugh

Big Laugh

Das verstehe ich nicht ganz, ich dachte das ist eine Intervall angabe verwirrt

verwirrt

Hammer

Zitat:

Original von klarsoweit
Nun ja, wenn (warum auch immer) verlangt wird, daß beide Werte ungleich Null sind, mußt du die Funktionen noch etwas verschieben. smile

smile

Also $\begin{eqnarray*} x-1 und 6-x \end{eqnarray*}$ ?

08.12.2017, 13:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von xxJan
Das verstehe ich nicht ganz, ich dachte das ist eine Intervall angabe verwirrt

verwirrt

Hammer

Ja, [a; b] ist eine Intervallangabe. Und was ist da jetzt verlangt? Es werden ausschließlich Funktionen betrachtet, die auf dem Intervall stetig sind und wo das Produkt der Funktionswerte an den Intervallgrenzen gleich Null ist. Oder was interpretierst du noch darein?

Zitat:

Original von xxJan
Also $\begin{eqnarray*} x-1 und 6-x \end{eqnarray*}$ ?

Beispielsweise. smile

smile

08.12.2017, 14:02

xxJan

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Achso

geschockt

Ohman... dann hatte ich was verwechselt dachte die ganze zeit für alle werte dazwischen.
Jetzt versteh ich auch die Grafik

08.12.2017, 14:10

xxJan

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Also die beiden Funktionen erfüllen das Kriterium also sind sie Teil der Menge.

Jetzt ist die Frage wenn ich einen Widerspruchsbeweis erbringen will, reicht es wenn ich ein Beispiel wie die beiden Funktionen nehme mit dem Intervall [1,6] oder habe ich dann was nicht berücksichtigt?

08.12.2017, 14:31

Elvis

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$\begin{eqnarray*} f,g\in U_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f+g\in U_2 \end{eqnarray*}$ ?

08.12.2017, 14:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von xxJan
Jetzt ist die Frage wenn ich einen Widerspruchsbeweis erbringen will, reicht es wenn ich ein Beispiel wie die beiden Funktionen nehme mit dem Intervall [1,6] oder habe ich dann was nicht berücksichtigt?

Nun ja, es wäre vielleicht schöner, wenn du dein Gegenbeispiel so konstruierst, daß es auf das allgemeine Intervall [a; b] paßt. smile

smile

08.12.2017, 15:23

xxJan

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Also ich sage:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g(x)=6-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} &&(f+g)(a)*(f+g)(b)=0\\=&&(x-1+6-x)(a)*(x-1+6-x)(b)=0\\=&&5*5=0\\=&&25=0 \end{eqnarray*}$

Da das offensichtlich widersprüchlich ist, muss die Aussage falsch sein.

Oder habe ich wieder einen gedanklichen Fehler gemacht?

08.12.2017, 18:48

Elvis

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Gedankliche Fehler sehe ich hier nicht, aber du arbeitest nicht sehr sorgfältig. Welche Bedeutung haben die Funktionen x-1 und 6-x ? Welche Bedeutung haben die Intervallgrenzen a und b ? Wieso hängen Gleichungen durch Gleichheitszeichen zusammen ? Wozu ist 25=0 widersprüchlich ? Welche Aussage soll falsch sein, wenn 25=0 ist ? Was soll das alles mit Vektorräumen und Untervektorräumen zu tun haben ?

Achte doch bitte auf den Hinweis von klarsoweit, und formuliere eine sinnvolle Antwort, die eine sinnvolle Frage beantwortet.

Das ist jedenfalls keine sinnvolle Frage: "Hallo ich habe eine kurze Frage:
Die Aufgabenstellung verlangt, dass ich überprüfen soll ob die Menge $\begin{eqnarray*} U_{2}={f\in C[a,b]|f(a)*f(b)=0} \end{eqnarray*}$ Es gilt zudem: $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b\neq= \end{eqnarray*}$ "

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