Skalarwertige Funktion nach Tensor 2ter Stufe ableiten

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Mathenoob23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarwertige Funktion nach Tensor 2ter Stufe ableiten
Meine Frage:
Ich habe eine Funktion die den Winkel bzw. Cosinus vom Winkel zwischen zwei Tensoren 2ter Stufe beschreiben soll;



E und A sind jeweils 3x3 Matrizen und meines Wissens nach symmetrisch.

Nun ist die Ableitung nach dem Tensor gesucht.

Meine Ideen:
Aus einschlägiger Literatur habe ich nun erfahre, wie einzelne Ableitungen aussehen:

(Einheitsmatrix)
bzw.





Jetzt frage ich mich, wie ich das ganze zusammen lösen soll. Man muss ja irgendwie so etwas wie die Quotientenregel anwenden, da im Zähler und im Nenner eine Abhängigkeit besteht. Habe bis jetzt aber nur Ketten- und Produktregel bei solchen Problemen gefunden.
Außerdem frage ich mich, ob man das ganze in Indexnotation lösen muss.

Wenn ich jetzt stumpf die Quotientenregel für Skalare anwende, komme ich auf das:



Sieht allerdings extrem falsch aus, weil es von den Dimensionen nicht passt.
Kann mir jemand weiterhelfen?

Willkommen im Matheboard!
Ich habe den ersten Beitrag mit den fehlenden LaTeX-Tags gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet.
Viele Grüße
Steffen
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarwertige Funktion nach Tensor 2ter Stufe ableiten
Ich verstehe es nicht wirklich. ist eine feste Matrix und und sind Potenzen davon? Wenn ja, wie verstehst du die Ableitung nach ? Üblicherweise würde man es einfach alle partielle Ableitung bzgl. der Komponenten bilden. Aber diese Komponenten hängen von ab, und die tauchen auch in auf.

Oder meint man wirklich die formale Ableitung nach und ignoriert den Ursprung der Matrix?
Mathenoob23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarwertige Funktion nach Tensor 2ter Stufe ableiten
, und A sind feste Tensoren/Matrizen. Sprich das n+1 und das n gehören einfach zur Bezeichnung der Matrix (ist also keine Potenz). Und es soll nach dem Tensor differenziert werden.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarwertige Funktion nach Tensor 2ter Stufe ableiten
Zitat:
Original von Mathenoob23
(Einheitsmatrix)
bzw.


Ich nenne mal . Hier steckt schon eine subtile Identifizierung. Es ist . Der Identitätstensor vierter Stufe. Dieser operiert aber auf Matrizen wie mit der üblichen Matrixmultiplikation. Daher sind die beiden Gleichungen kompatibel, aber nicht ohne weiteres gegeneinander austauschbar!

Dann ist also
und . Folglich, wirklich mit der Quotienten/Kettenregel: .

Mit der Quotientenregel aus

und dann ist
Mathenoob23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarwertige Funktion nach Tensor 2ter Stufe ableiten
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe!
Also, ich schreibe mal die Ausgangsgleichung um:



Dann ist gleich einem Tensor 2ter Stufe mit den Komponenten:

(Produktregel)



Sehe ich das so richtig?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarwertige Funktion nach Tensor 2ter Stufe ableiten
Zitat:
Original von Mathenoob23

Ausdrücke wie sind zu vermeiden. Also besser


Aber ja, das stimmt. Viel konnte man ehrlich gesagt auch nicht mehr falsch machen Big Laugh
Jedenfalls ist das, wie erwartet, ein Skalar. Die Einträge schreibt man nun alle in eine Matrix und freut sich. Dann kann man noch gucken ob man es schöner schreiben kann.

Z.B. die ersten Summanden in allen Komponenten kann man offenbar schreiben als .
 
 
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