Eigenwertproblematik

08.12.2017, 16:26	Zorkus	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwertproblematik $\begin{eqnarray} A:=\begin{pmatrix} -5.7 & -61.1 & -32.9 \\ 0.8 & 11.9 & 7.1 \\ -1.1 & -11.8 & -7.2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z^{(0)}:=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man versuche zunächst, den betragsgrößten Eigenwert von A mit der Potenzmethode zu approximieren (4 Schritte mit Normierung bzgl. $\begin{eqnarray} \|\|\cdot \|\|{\infty } \end{eqnarray}$ ). Die Potenzmethode habe ich wie folgt ausgeführt: $\begin{eqnarray} z^{(1)}=\frac{A\cdot z^{(0)}}{\|\|A\cdot z^{(0)}\|\|_{\infty } }=\begin{pmatrix} -1 \\ 0.2 \\ -0.2 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} -99.7 \\ 19.8 \\ -20.1 \end{pmatrix} }{\|\|-99.7\|\|_{\infty }} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^{(2)}=\frac{A\cdot z^{(1)}}{\|\|A\cdot z^{(1)}\|\|_{\infty } }=\begin{pmatrix} 0.33 \\ 0.89 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} 0.06 \\ 0.16 \\ 0.18 \end{pmatrix} }{\|\|0.18\|\|_{\infty }} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^{(3)}=\frac{A\cdot z^{(2)}}{\|\|A\cdot z^{(2)}\|\|_{\infty } }=\begin{pmatrix} -1 \\ 0.2 \\ -0.2 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} -89.16 \\ 17.95 \\ -18.07 \end{pmatrix} }{\|\|-89.16\|\|_{\infty }} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^{(4)}=\frac{A\cdot z^{(3)}}{\|\|A\cdot z^{(3)}\|\|_{\infty } }=\begin{pmatrix} 0.33 \\ 0.89 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} 0.06 \\ 0.16 \\ 0.18 \end{pmatrix} }{\|\|0.18\|\|_{\infty }} \end{eqnarray}$ Was ist zu beobachten? Die Zeilensummennorm, welche im ideal Fall gegen den betragsmäßig größten Eigenwert konvergiert, wechselt hier in den Schritten zwischen einer kleinen und großen Zahl hin und her und liefert kein zufriedenstellendes Ergebnis. Es wirkt so als würde die Zeilensummennorm gegen eine untere und obere Schranke konvergieren. Man führe nun eine Spektralverschiebung (shift) mit s = 5 durch und approximiere den betragsgrößten Eigenwert der resultierenden Matrix A' (ebenfalls 4 Schritte). Shift ausführen mit: $\begin{eqnarray} A'= A- s\cdot I \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A'=\begin{pmatrix} -10.7 & -61.1 & -32.9 \\ 0.8 & 6.9 & 7.1 \\ -1.1 & -11.8 & -12.2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Potenzmethode wie vorher mit: $\begin{eqnarray} z^{(1)}=\frac{A'\cdot z^{(0)}}{\|\|A'\cdot z^{(0)}\|\|_{\infty } }=\begin{pmatrix} -1 \\ 0.14 \\ -0.24 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} -104.7 \\ 14.8 \\ -25.1 \end{pmatrix} }{\|\|-104.7\|\|_{\infty }} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^{(2)}=\frac{A'\cdot z^{(1)}}{\|\|A'\cdot z^{(1)}\|\|_{\infty } }=\begin{pmatrix} 1 \\ -0.15 \\ 0.24 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} 10.04 \\ -1.54 \\ 2.38 \end{pmatrix} }{\|\|10.04\|\|_{\infty }} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^{(3)}=\frac{A'\cdot z^{(2)}}{\|\|A'\cdot z^{(2)}\|\|_{\infty } }=\begin{pmatrix} -1 \\ 0.16 \\ -0.24 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} -9.43 \\ 1.47 \\ -2.26 \end{pmatrix} }{\|\|-9.43\|\|_{\infty }} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^{(4)}=\frac{A'\cdot z^{(3)}}{\|\|A'\cdot z^{(3)}\|\|_{\infty } }=\begin{pmatrix} 1 \\ -0.16 \\ 0.24 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} 8.82 \\ -1.4 \\ 2.14 \end{pmatrix} }{\|\|8.82\|\|_{\infty }} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^{(5)}=\frac{A'\cdot z^{(4)}}{\|\|A'\cdot z^{(3)}\|\|_{\infty } }=\begin{pmatrix} -1 \\ 0.16 \\ -0.24 \end{pmatrix} = \frac{\begin{pmatrix} -8.82 \\ 1.4 \\ -2.14 \end{pmatrix} }{\|\|8.82\|\|_{\infty }} \end{eqnarray}$ Mit dem Shift konvergiert Zeilensummennorm gegen 8.82 (Die Eigenwerte von A sind $\begin{eqnarray} EW_{1} = -4; EW_{2} = 1; EW_{3} = 4 \end{eqnarray}$ ausgerechnet mit einem Programm.) Habe ich das so richtig gemacht und vor allem was schließe ich nun aus dem Ergebnis welches ich mit dem Shift erhalten habe? Wenn ich von der 8.82 "s = 5" abziehe also 8.82 - 5 = 3.82, dann bin ich sehr nah an einem echten, betragsgrößten Eigenwert dran, soll man das so machen, ist das korrekt oder habe ich irgendwo einen Denkfehler? Viele Grüße und danke im Voraus!

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