Beweisen oder widerlegen Linearkombination

08.12.2017, 16:31	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisen oder widerlegen Linearkombination Hallo, Ich habe folgende Aufgaben: Beweisen oder widerlegen Sie: a) Seien zwei endliche Mengen $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Teilmengen des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ . Aus $\begin{eqnarray} N\subseteq M \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} L(N) \subseteq L(M) \end{eqnarray}$ . b) Für $\begin{eqnarray} M \subseteq \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ , M endlich, gilt $\begin{eqnarray} L(M) = L(L(M)) \end{eqnarray}$ . zu a) habe ich leider keine Ahnung wie ich beim Beweisen vorgehen soll. zu b) Bin ich mir nicht sicher, aber wenn ich eine Linearkombination habe, und davon eine Linearkombination bilde, dann Multipliziere ich sie doch mit einer beliebigen Zahl. Wen ich dort die eins nehme, dann ist die Aussage doch wahr oder? Ich hoffe es kann mir einer Helfen LG Jan
08.12.2017, 18:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst nur die Definitionen "zwei Mengen sind gleich, genau dann wenn...", "eine Menge ist Teilmenge einer anderen Menge, genau dann wenn ..." und "ist M eine Menge, so ist L(M):={...}" anwenden.
11.12.2017, 14:40	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich habe jetzt ein bisschen Nachgeforscht. Und weiß das die beiden Aussagen zwei der drei Eigenschaften von Linearen Hüllen beschreiben. zu a) Ist es in dem Fall formal ausrechend zu sagen: $\begin{eqnarray} L(N),L(M) \end{eqnarray}$ sind die Menge aller möglichen Linearkombinationen von N und M. Da $\begin{eqnarray} N \subseteq M \end{eqnarray}$ ist, sind die Linearkombinationen von N Teilmenge der Linearkombinationen von M. Daraus folgt ja dass $\begin{eqnarray} L(N) \subseteq L(M) \end{eqnarray}$ ist?
11.12.2017, 18:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip stimmt das. Die Sprache kann allerdings verbessert werden: $\begin{eqnarray} L(N)=\{\sum_{k=1}^na_kx_k:a_k\in \mathbb R, x_k\in N\} \end{eqnarray}$ ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , ... ... und alsdann kann der Beweis auch vollständig formal geführt werden.

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