Supremum und Infumum Beweise

08.12.2017, 17:45	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum und Infumum Beweise Hallo zusammen, $\begin{eqnarray} A,B \subset\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (A+B):=\{a+b \| a\in A , b\in B\} \end{eqnarray}$ Seien A und B beschränkt: Zu Zeigen: sup (A+B)= sup(A) + sup (B) Mein Ansatz: Sei $\begin{eqnarray} a_{max} := sup A , a\in A \end{eqnarray}$ mit a größtes Element von A und $\begin{eqnarray} b_{max} := sup B , b\in B \end{eqnarray}$ mit b größtes Element von B analog für $\begin{eqnarray} a_{min} , b_{min} \end{eqnarray}$ Dann folgt: $\begin{eqnarray} sup (A+B)= a_{max} + b_{max} = sup (A) +sup (B) \end{eqnarray}$ Richtig ? LG Snexx_Math
08.12.2017, 17:58	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Snexx_Math, nein, leider nicht. Der Witz beim Infimum und Supremum ist ja gerade, dass die in der Menge nicht enthalten sein müssen. Standardbeispiel: Das offene Einheitsintervall I = (0,1) erfüllt sup I = 1 und inf I = 0, aber weder 0 noch 1 sind in der Menge enthalten, insbesondere besitzt sie weder Maximum noch Minimum. Du musst gemäß der Definition von Supremum / Infimum zweierlei Dinge beweisen: 1.) Die Zahl sup A+sup B ist eine obere Schranke für die Menge A+B. (einfach / Einzeiler) 2.) Ist s irgendeine beliebige obere Schranke für die Menge A+B, so ist sup A+sup B <= s. (Hauptteil des Beweises) Zusammenhänge, die du benutzen könntest - auch für den Fall, dass Infimum und Supremum kein Minimum bzw. Maximum, also kein Mitglied in der Menge sind -, wären: -> Ist A eine nichtleere beschränkte Menge, so gibt es eine monoton steigende Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_n\stackrel{n\to\infty}\longrightarrow \sup(A) \end{eqnarray}$ . (Für's Infimum analog, mit 'monoton fallend' dann natürlich.) -> Ist A eine nichtleere beschränkte Menge, so gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a\geq \sup A - \varepsilon \end{eqnarray}$ . Versuch's mal damit! LG sibelius84
10.12.2017, 00:15	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die Antwort. Ich habe mich heute ziemlich lange nochmal mit der Aufgabe beschäftigt. Leider ohne jeden Erfolg Könnten Sie mir eventuell die Aufgabe "vorrechnen", damit ich vielleicht die Vorgehensweise besser verstehen kann ? Wäre sehr nett ! Ich muss nämlich im zweiten Teil der Aufgabe noch das gleiche für das Infimum machen und könnte dann daran sehen, ob ich es verstanden habe. LG Snexx_Math

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