Supremum und Infumum Beweise

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum und Infumum Beweise
Hallo zusammen,

und

Seien A und B beschränkt: Zu Zeigen:

sup (A+B)= sup(A) + sup (B)

Mein Ansatz:

Sei mit a größtes Element von A und mit b größtes Element von B

analog für

Dann folgt:

Richtig ?

LG

Snexx_Math
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Snexx_Math,

nein, leider nicht. Der Witz beim Infimum und Supremum ist ja gerade, dass die in der Menge nicht enthalten sein müssen. Standardbeispiel: Das offene Einheitsintervall I = (0,1) erfüllt sup I = 1 und inf I = 0, aber weder 0 noch 1 sind in der Menge enthalten, insbesondere besitzt sie weder Maximum noch Minimum.

Du musst gemäß der Definition von Supremum / Infimum zweierlei Dinge beweisen:

1.) Die Zahl sup A+sup B ist eine obere Schranke für die Menge A+B. (einfach / Einzeiler)

2.) Ist s irgendeine beliebige obere Schranke für die Menge A+B, so ist sup A+sup B <= s. (Hauptteil des Beweises)

Zusammenhänge, die du benutzen könntest - auch für den Fall, dass Infimum und Supremum kein Minimum bzw. Maximum, also kein Mitglied in der Menge sind -, wären:

-> Ist A eine nichtleere beschränkte Menge, so gibt es eine monoton steigende Folge mit . (Für's Infimum analog, mit 'monoton fallend' dann natürlich.)

-> Ist A eine nichtleere beschränkte Menge, so gibt es zu jedem ein mit .

Versuch's mal damit! smile

LG
sibelius84
 
 
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die Antwort.

Ich habe mich heute ziemlich lange nochmal mit der Aufgabe beschäftigt. Leider ohne jeden Erfolg unglücklich

Könnten Sie mir eventuell die Aufgabe "vorrechnen", damit ich vielleicht die Vorgehensweise besser verstehen kann ? Wäre sehr nett !

Ich muss nämlich im zweiten Teil der Aufgabe noch das gleiche für das Infimum machen und könnte dann daran sehen, ob ich es verstanden habe.

LG

Snexx_Math
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