Abstand in metrischen Räume, Aufgabe unklar

08.12.2017, 22:01

whitestar

Abstand in metrischen Räume, Aufgabe unklar

Hallo, ich habe folgende Aufgabe, welche mir unklar ist. siehe Bild.
Kann ich die Ungleichungen, die ich gemäß Angabe zeigen soll, einfach dadurch zeigen, dass ich die Dreiecksungleichung beweise?

[attach]45977[/attach]

08.12.2017, 23:00

10001000Nick1

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Die Dreiecksungleichung brauchst du nicht zeigen; die ist per Definition erfüllt (weil $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum ist).
Die Beweise sind aber Anwendungen der Dreiecksungleichung.

09.12.2017, 08:54

whitestar

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Wie genau soll ich das zeigen? Es gilt ja weil die Dreiecksungleichung gilt meiner Meinung nach. Und die gilt ja in metrischen Räumen immer..

09.12.2017, 11:09

Elvis

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Du musst die Definition $\begin{eqnarray*} d(x,A)=d(\{x\},A)=inf\{d(x,y):x\in \{x\},y\in A\} \end{eqnarray*}$ , die Definition von $\begin{eqnarray*} c(A) \end{eqnarray*}$ (das ist vermutlich die abgeschlossene Hülle von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ) und die Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray*} \forall x,y,z\in X:d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y) \end{eqnarray*}$ benutzen, um die Aussagen der Aufgabe zu beweisen. Nichts davon ist selbstverständlich, und man kann sich nicht so einfach auf "die Dreiecksungleichung" herausreden.

09.12.2017, 13:16

whitestar

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Zitat:

Original von Elvis
Du musst die Definition $\begin{eqnarray*} d(x,A)=d(\{x\},A)=inf\{d(x,y):x\in \{x\},y\in A\} \end{eqnarray*}$ , die Definition von $\begin{eqnarray*} c(A) \end{eqnarray*}$ (das ist vermutlich die abgeschlossene Hülle von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ) und die Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray*} \forall x,y,z\in X:d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y) \end{eqnarray*}$ benutzen, um die Aussagen der Aufgabe zu beweisen. Nichts davon ist selbstverständlich, und man kann sich nicht so einfach auf "die Dreiecksungleichung" herausreden.

Ich verstehe noch nicht ganz wie d(y,A) definiert ist.

$\begin{eqnarray*} d(y,A)=d(\{y\},A)=inf\{d(x,y):x\in \{y\},y\in A\} \end{eqnarray*}$

So? Oder anders?

09.12.2017, 13:55

10001000Nick1

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Nicht ganz: $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ hast du jetzt zweimal verwendet. Besser so:

$\begin{eqnarray*} d(y,A)=d(\{y\}, A\}=\inf\{d(x,z)\mid x\in \{y\}, z\in A\} \end{eqnarray*}$ . Weil aber $\begin{eqnarray*} x\in\{y\} \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ ist, kann man das auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} d(y,A)=\inf\{d(y,z)\mid z\in A\} \end{eqnarray*}$

11.12.2017, 14:59

whitestar

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Ich tue mir bei der korrekten Notation ziemlich schwer.
Wie schreibe ich jetzt die 1. Ungleichung korrekt in der infimum-Schreibweise an?

$\begin{eqnarray*} inf\{d(x,y):x\in \{x\},y\in A\}<=inf\{d(x,y):x\in \{x\},y\in \{y\}+inf\{d(x,z):x\in \{y\},z\in A\}=inf\{d(x,y):x\in \{x\},y\in A\}<=inf\{d(x,y):x\in \{x\},y\in {y}\}+inf\{d(x,z):yin \{y\},z\in A\} \end{eqnarray*}$

11.12.2017, 19:01

10001000Nick1

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Kleiner Hinweis zu Latex: Der Code für $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ist \leq. smile

Was willst du in deinen Mengen mit der Bedingung $\begin{eqnarray*} x\in\{x\} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y\in\{y\} \end{eqnarray*}$ sagen? Diese Aussagen sind immer erfüllt.

Ich würde die erste Ungleichung so beweisen:
Für alle $\begin{eqnarray*} z\in A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} d(x,A)\leq d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) \end{eqnarray*}$

(die erste Ungleichung folgt aus der Definition von $\begin{eqnarray*} d(x,A) \end{eqnarray*}$ , die zweite ist die Dreiecksungleichung).

Wenn also für alle $\begin{eqnarray*} z\in A \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} d(x,A)\leq d(x,y)+d(y,z) \end{eqnarray*}$ , dann muss diese Ungleichung auch erhalten bleiben, wenn man auf der rechten Seite das Supremum über alle $\begin{eqnarray*} z\in A \end{eqnarray*}$ bildet. Was erhältst du, wenn du das machst?

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