(Paarweise) Unabhängigkeit prüfen

09.12.2017, 15:32

forbin

(Paarweise) Unabhängigkeit prüfen

Hallo,

ich habe hier die folgende Aufgabe:
[attach]45980[/attach]

Meine Ideen dazu:
a)
Es ist $\begin{eqnarray*} P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} A\cap B = \{1,2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$ .
Also sind dieses Ereignisse stochastisch unabhängig.
Dies folgt auch für die anderen paarweisen Schnitte.

Nun betrachte ich:
$\begin{eqnarray*} A\cap B \cap C \cap D = \{1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A\cap B\cap C\cap D) = \frac{1}{8} \neq \Big(\frac{1}{2}\Big)^{4} = P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)\cdot P(D) \end{eqnarray*}$

Die Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.

b)
Meine Heransgehenweise ist hier:
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B = \{1,2\}) = P(1)+P(2) = \frac{1}{4}\neq P(A)\cdot P(B) = \frac{10}{16}\cdot\frac{8}{16}=\frac{5}{16} \end{eqnarray*}$
Das mache ich dann so auch für die anderen zu betrachtenden Mengen.

c)

$\begin{eqnarray*} \text{Sei A$\subset$$\Omega$ beliebig} : \\1) P(A\cap\emptyset) = P(\emptyset) = 0 = P(A)\cdot P(\emptyset) \\ 2) P(A\cap\Omega) = P(A) = P(A)\cdot P(\Omega), \text{ da } P(\Omega) = 1 \end{eqnarray*}$ ,

Stimmt das soweit?

09.12.2017, 18:11

sibelius84

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Hallo forbin,

was du zu (a) gemacht hast, sieht super aus.

Zu (b) hast du keine paarweise Unabhängigkeit. Je nach vom Prof gewählter Definition könntest du aber trotzdem noch Unabhängigkeit haben. Hast du das schon nachgeprüft?

(c) - super smile

LG
sibelius84

10.12.2017, 17:32

forbin

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Zitat:

Original von sibelius84
Zu (b) hast du keine paarweise Unabhängigkeit. Je nach vom Prof gewählter Definition könntest du aber trotzdem noch Unabhängigkeit haben. Hast du das schon nachgeprüft?

Wie meinst du das?
Also ich habe das hier nur abgekürzt. Ich würde also alle Mengen jeweils paarweise überprüfen (paarweise Unabhängigkeit).
Danach würde ich dann alle Mengen schneiden und auf Unabhängigkeit überprüfen.

Oder wie meinst du genau?

10.12.2017, 19:47

sibelius84

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Du musst genau nachsehen, wie ihr Unabhängigkeit definiert habt. Es gibt die Definition

https://de.wikipedia.org/wiki/Stochastis...rer_Ereignisse,

die in meinem Lieblings-Stochastik-Einführungs-Buch von Behrends genauso gemacht wird und im Kurs von Moeschlin an der FernUni Hagen auch. Es wird vermutlich die gängige Definition sein. Sie hätte zur Folge, dass du die Gültigkeit der definierenden Gleichung

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(A_{k_1}\cap\ldots\cap A_{k_r}) = \mathbb{P}(A_{k_1})\ldots\mathbb{P}(A_{k_r}) \end{eqnarray*}$

zunächst für alle Paarungen (r=2, also paarweise Unabhängigkeit - hast du schon gemacht), dann für alle Tripel / Dreierkombinationen, und schließlich noch für alle vier Mengen nachprüfen musst. (Formal ausgedrückt: r bzw. $\begin{eqnarray*} k_1, \ldots,k_r \end{eqnarray*}$ durchlaufen jede mögliche Anzahl bzw. Kombination von Indices.)

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