Lineare Abbildung, Matrix, Bild

09.12.2017, 17:37	paamks	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung, Matrix, Bild Meine Frage: Ich verstehe einen neuen Ansatz aus der Vorlesung irgendwie nicht ganz, wäre nett wenn mir da jemand vielleicht etwas mehr zu sagen oder was herleiten könnte. Es geht um folgendes: Wenn K ein Körper ist existiert zu jeder Matrix A eine Matrix C, mit der Eigenschaft, dass Cb=0 genau dann gilt, wenn b im Bild der von A induzierten linearen Abbildung liegt. Ich suche also keine konkrete Antwort auf eine Frage, sondern eher Inforrmationen, die mir helfen können, diesen ansatz zu verstehen oder ein Vorgehen, wie man eine solche Matrix C konstruieren könnte oder so etwas. Meine Ideen: Ich kann mir Vorstellen, dass die Lösung etwas mit dem zu A zugrhörigen homogenen System zu tun haben könnte, aber einen wirklichen Ansatz habe ich nicht.
09.12.2017, 18:05	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi paamks, Cb = 0 gilt ja bekanntlich per Definition genau dann, wenn $\begin{eqnarray} b\in\mathrm{ker } C \end{eqnarray}$ . Gemäß Aufgabe soll aber auch Cb = 0 genau dann gelten, wenn $\begin{eqnarray} b\in \mathrm{im }A \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} \mathrm{im }A = \mathrm{ker }C \end{eqnarray}$ . Oder äquivalent: $\begin{eqnarray} CAb = 0 \end{eqnarray}$ für alle Vektoren b (passender Dimension). Also muss CA die Nullmatrix sein. Das ist das, was ich dazu gerade mal aus dem Ärmel schütteln kann. Um konkreter zu antworten, müsste ich mehr über die Anforderungen an die Matrizen wissen. Sollen sie eine bestimmte Dimension haben? Sollen sie quadratisch sein? LG sibelius84
09.12.2017, 18:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Sicht der linearen Abbildungen ist das ganz einfach. Wähle zur Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi_A:U\to V \end{eqnarray}$ die Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi_C:V\to W \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} \varphi_C(b_k)=0 \end{eqnarray}$ für eine Basis $\begin{eqnarray} B_{Bild(\varphi_A)}=\{b_1,...,b_{rg(A)}\} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} Bild(\varphi_A) \end{eqnarray}$ , ergänze $\begin{eqnarray} B_{Bild(\varphi_A)} \end{eqnarray}$ zu einer Basis $\begin{eqnarray} B_V \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und setze $\begin{eqnarray} \varphi_C(b)\ne 0(\forall b\in B_V\backslash B_{Bild(\varphi_A)}) \end{eqnarray}$ .
09.12.2017, 22:57	ksslr	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage kam von mir, hab nur vergessen mich anzumelden An die Matrix C werden keine besonderen Anforderungen gestellt, sie soll einfach nur mit A multiplizierbar sein. Ich glaube, ich habe es fast verstanden. Wäre nett, wenn du noch etwas genauer erläutern könntest, warum genau diese beiden Aussagen äquivalent sind und wie ich demnach eine solche Matrix C konstruieren kann. Ich vermute mit dem Gaussalgorithmus , aber sicher bin ich mir nicht und Sicherheit ist natürlich immer besser Vielen Dank für die schnelle Hilfe, auch an Elvis, allerdings sagt mir deine Antwort nicht so viel, da wir die Basis eines Vektorraums noch nicht eingeführt haben.
09.12.2017, 23:24	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi zusammen, etwas Ähnliches, wie Elvis geschrieben hat, war mir auch schon durch den Kopf gegangen, ich habe es nur nicht so präzise fassen können. Ok, also nur Matrizen ohne Abbildungen, versuchen wir das mal: Betrachte die Spalten a_j von A, und die (zu bestimmenden) Zeilen c_i von C, i,j=1,...,n. Die Forderung CA = 0 (Nullmatrix) heißt ja äquivalent (c_i)(a_j)=0 für alle i,j=1,...,n, bzw. (c_i)A=0 für alle i. Wenn du die Gleichung transponierst, bekommst du (A^T)(c_i^T) = 0. Also musst du im Prinzip nur den Kern von A^T bestimmen und alle erhaltenen Vektoren als Zeilen von C verwenden. LG sibelius84
10.12.2017, 08:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was machen wir dann mit nichtquadratischen Matrizen ?
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10.12.2017, 13:30	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gebe im Beitrag Matrix Eigenschaft mit Hilfe des Gaußalgorithmus Hinweise zur Lösung der Aufgabe mit Hilfe des Gauß-Algorithmus.
10.12.2017, 20:17	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich plädiere dafür, einfach das LGS $\begin{eqnarray} A^\top x = 0 \end{eqnarray}$ zu lösen und die Lösungen als Zeilen von C zu verwenden. Beispiel: a_(ij) = 4(i-1) + j (Also $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .) $\begin{eqnarray} \mathrm{ker } A^\top = \left\{t\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + u\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\,\mid\,t,u\in\mathbb{R}\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow C :=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Es ist ein wenig schwierig, hier mathematisch präzise zu sein, wenn man den Begriff einer Basis noch nicht hat (und dann wohl auch nicht Erzeugendensystem, linear unabhängig, ...). Hier gilt aber jedenfalls das Gewünschte: im A = ker C.

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